Problemas.
(d) Ao planejar um restarurante, estima-se que se houver de 40 a 80 lugares, o lucro bruto diário será de por lugar. Se , contudo, o número de assentos for acima de 80 lugares, o lucro bruto diário por lugar decrescerá por lugar acima de 80 . Qual deverá ser o número de assentos para que o lucro bruto diário seja máximo?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no problema que você trouxe. A gente precisa descobrir qual o número de assentos em um restaurante que vai maximizar o lucro bruto diário. A situação é a seguinte:
  • Se o restaurante tiver entre 40 e 80 lugares, o lucro por lugar é de $16 por dia.
  • Se passar dos 80 lugares, o lucro por lugar diminui $0,08 para cada assento a mais.
Vamos usar um pouco de matemática, especificamente funções e otimização, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos definir uma variável para facilitar:
  • : número de assentos no restaurante.
Agora, vamos expressar o lucro bruto diário total ( ) em função de .
  • Para :
    O lucro é constante por assento, então:
  • Para :
    O lucro por assento diminui $0,08 para cada assento acima de 80, então:

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar o valor de que maximiza . Vamos focar na segunda função, pois é onde o lucro varia com o número de assentos.
Vamos simplificar a expressão:
Agora, temos uma função quadrática da forma:

Passo 4

Para encontrar o máximo dessa função quadrática, podemos usar o ponto de vértice. A fórmula para o do vértice de uma parábola é:
Aqui, e . Substituindo:

Passo 5

Então, o número de assentos que maximiza o lucro bruto diário é 140.

Resposta

O número de assentos que maximiza o lucro bruto diário é 140 lugares.

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