Encontre os valores máximos e mínimos locais e globais de
. Justifique sua resposta.
(f)
(f)
Passo 1
Então, a gente tem a função
e precisa encontrar onde ela tem valores máximos e mínimos, tanto locais quanto globais. Para isso, vamos usar o cálculo de derivadas, que nos ajuda a identificar esses pontos especiais na função.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada da função
. A derivada nos mostra a taxa de variação da função em cada ponto.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de
onde a derivada é zero ou não existe. Neste caso, a derivada existe para todo
, então vamos igualar
a zero:
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 4
Para determinar se esse ponto crítico é um máximo ou um mínimo, vamos usar o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos a segunda derivada:
Agora, avaliamos a segunda derivada em
:
Como a segunda derivada é zero, precisamos analisar o comportamento da função ao redor de
. Observando a derivada primeira
, vemos que para valores de
positivos,
é negativo, e para valores de
negativos,
também é negativo. Isso indica que a função está sempre decrescendo em torno de
, sugerindo que
não é um ponto de máximo ou mínimo local.
Passo 5
Vamos analisar os limites da função para determinar os valores máximos e mínimos globais. Como
, quando
tende a
ou
, o termo
cresce muito grande, fazendo com que
tende a
.
O ponto mais alto da função ocorre em
:
Então, o valor máximo global da função é 2, e não há mínimos globais, já que a função pode diminuir indefinidamente.
Resposta
A função
tem um valor máximo global de 2 no ponto
. Não há valores mínimos globais.
Exercícios relacionados
Encontre os valores máximo e mínimo globais de
no intervalo dado, se possível. Justifique sua resposta.
(e)
(e)
Diga em quais intervalos as funções
a seguir são crescentes e onde são decrescentes.
(l)
(l)
Diga em quais intervalos as funções
a seguir são crescentes e onde são decrescentes.
©
©
Diga em quais intervalos as funções
a seguir são crescentes e onde são decrescentes.
(j)
(j)