Encontre os valores máximos e mínimos locais e globais de . Justifique sua resposta.
(f)

Passo 1

Então, a gente tem a função e precisa encontrar onde ela tem valores máximos e mínimos, tanto locais quanto globais. Para isso, vamos usar o cálculo de derivadas, que nos ajuda a identificar esses pontos especiais na função.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função . A derivada nos mostra a taxa de variação da função em cada ponto.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de onde a derivada é zero ou não existe. Neste caso, a derivada existe para todo , então vamos igualar a zero:
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 4

Para determinar se esse ponto crítico é um máximo ou um mínimo, vamos usar o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos a segunda derivada:
Agora, avaliamos a segunda derivada em :
Como a segunda derivada é zero, precisamos analisar o comportamento da função ao redor de . Observando a derivada primeira , vemos que para valores de positivos, é negativo, e para valores de negativos, também é negativo. Isso indica que a função está sempre decrescendo em torno de , sugerindo que não é um ponto de máximo ou mínimo local.

Passo 5

Vamos analisar os limites da função para determinar os valores máximos e mínimos globais. Como , quando tende a ou , o termo cresce muito grande, fazendo com que tende a .
O ponto mais alto da função ocorre em :
Então, o valor máximo global da função é 2, e não há mínimos globais, já que a função pode diminuir indefinidamente.

Resposta

A função tem um valor máximo global de 2 no ponto . Não há valores mínimos globais.

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Encontre os valores máximo e mínimo globais de no intervalo dado, se possível. Justifique sua resposta.
(e)
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(l)
Diga em quais intervalos as funções a seguir são crescentes e onde são decrescentes.
©
Diga em quais intervalos as funções a seguir são crescentes e onde são decrescentes.
(j)