Diga em quais intervalos as funções f a seguir são crescentes e onde são decrescentes.
(g) f(x) = raiz(5)(x^2 - 2x - 8)

Passo 1

Beleza, então a gente precisa descobrir em quais intervalos a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, vamos usar o cálculo de derivadas, que nos ajuda a entender como uma função se comporta em termos de aumento ou diminuição.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada da função . A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, como ela está mudando quando muda. No nosso caso, a função pode ser reescrita como .

Passo 3

Para derivar , vamos usar a regra da cadeia. A regra da cadeia nos permite derivar funções compostas. A derivada fica assim:
Simplificando, obtemos:

Passo 4

Agora, queremos saber onde é positiva ou negativa, porque isso nos indica onde a função está crescendo ou decrescendo. Vamos analisar o numerador e o denominador separadamente.
  1. Numerador :
    • quando
    • quando
  2. Denominador :
    • O denominador é sempre positivo já que está elevado a uma potência par e multiplicado por 5.
Então, o sinal de depende apenas do numerador .

Passo 5

Com base nisso:
  • Quando : → A função está crescente.
  • Quando : → A função está decrescente.

Resposta

A função é crescente para e decrescente para .

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