Diga em quais intervalos as funções a seguir são crescentes e onde são decrescentes.
(k)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para dizer em quais intervalos a função é crescente e onde ela é decrescente. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a derivada da função, que nos ajuda a entender como a função se comporta em termos de aumento e diminuição.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função . A derivada nos indica a taxa de variação da função em relação a . Se a derivada for positiva em um intervalo, a função está crescendo nesse intervalo. Se for negativa, a função está decrescendo.
A função dada é:

Passo 3

Vamos derivar usando a regra do quociente, que é aplicada quando temos uma função dividida por outra. A regra diz que:
onde e .

Passo 4

Calculando as derivadas de e :

Passo 5

Aplicando a regra do quociente:
Vamos simplificar o numerador:
Portanto:

Passo 6

Agora, para determinar onde é crescente ou decrescente, analisamos o sinal de .
O denominador é sempre positivo, exceto quando , ou seja, e . Esses valores são pontos onde a função não está definida.
Então, o sinal de depende apenas do numerador .

Passo 7

Vamos resolver a inequação para encontrar onde a derivada é positiva (função crescente):
Isso significa que quando está entre e , ou seja, a função é crescente nesse intervalo.
Por outro lado, quando , temos , então e a função é decrescente.

Passo 8

Observamos também que a função não está definida em e , então devemos dividir os intervalos considerando esses pontos.
Assim, os intervalos são:

Passo 9

Agora, vamos combinar tudo:
  • Crescente em e
  • Decrescente em , ,

Resposta

A função é crescente nos intervalos e , e decrescente nos intervalos , e .

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