Diga em quais intervalos as funções
a seguir são crescentes e onde são decrescentes.
(k)
(k)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para dizer em quais intervalos a função
é crescente e onde ela é decrescente. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a derivada da função, que nos ajuda a entender como a função se comporta em termos de aumento e diminuição.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos indica a taxa de variação da função em relação a
. Se a derivada for positiva em um intervalo, a função está crescendo nesse intervalo. Se for negativa, a função está decrescendo.
A função dada é:
Passo 3
Vamos derivar
usando a regra do quociente, que é aplicada quando temos uma função dividida por outra. A regra diz que:
onde
e
.
Passo 4
Calculando as derivadas de
e
:
Passo 5
Aplicando a regra do quociente:
Vamos simplificar o numerador:
Portanto:
Passo 6
Agora, para determinar onde
é crescente ou decrescente, analisamos o sinal de
.
O denominador
é sempre positivo, exceto quando
, ou seja,
e
. Esses valores são pontos onde a função não está definida.
Então, o sinal de
depende apenas do numerador
.
Passo 7
Vamos resolver a inequação
para encontrar onde a derivada é positiva (função crescente):
Isso significa que
quando
está entre
e
, ou seja, a função é crescente nesse intervalo.
Por outro lado, quando
, temos
, então
e a função é decrescente.
Passo 8
Observamos também que a função não está definida em
e
, então devemos dividir os intervalos considerando esses pontos.
Assim, os intervalos são:
Passo 9
Agora, vamos combinar tudo:
- Crescente em
e - Decrescente em
, ,
Resposta
A função
é crescente nos intervalos
e
, e decrescente nos intervalos
,
e
.
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