Diga em quais intervalos as funções f a seguir são crescentes e onde são decrescentes.
(o) f(x) = 2 cos(3 x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão onde a gente precisa descobrir em quais intervalos a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, vamos usar o conceito de derivada da matemática, que nos ajuda a entender como uma função se comporta, ou seja, se está aumentando ou diminuindo em determinados intervalos.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função . A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, como ela muda quando o muda. A derivada de é calculada assim:
Então, .

Passo 3

Agora, vamos analisar onde a derivada é positiva ou negativa, porque isso nos dirá onde a função está crescendo ou decrescendo.
  • Quando : A função está crescendo.
  • Quando : A função está decrescendo.
Então, precisamos resolver a desigualdade:
Simplificando:
Sabemos que a função seno é positiva no primeiro e segundo quadrantes e negativa no terceiro e quarto quadrantes do círculo trigonométrico. Vamos considerar o período da função , que é .
Portanto:
  • Crescendo: Quando , ou seja, nos intervalos para todo inteiro .
  • Decrescendo: Quando , ou seja, nos intervalos e para todo inteiro .

Resposta

A função é:
  • Crescente nos intervalos para todo inteiro .
  • Decrescente nos intervalos e para todo inteiro .

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