Diga em quais intervalos as funções
a seguir são crescentes e onde são decrescentes.
(o)
(o)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão onde a gente precisa descobrir em quais intervalos a função
está crescendo ou decrescendo. Para isso, vamos usar o conceito de derivada da matemática, que nos ajuda a entender como uma função se comporta, ou seja, se está aumentando ou diminuindo em determinados intervalos.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, como ela muda quando o
muda. A derivada de
é calculada assim:
Então,
.
Passo 3
Agora, vamos analisar onde a derivada
é positiva ou negativa, porque isso nos dirá onde a função está crescendo ou decrescendo.
- Quando
: A função está crescendo. - Quando
: A função está decrescendo.
Então, precisamos resolver a desigualdade:
Simplificando:
Sabemos que a função seno é positiva no primeiro e segundo quadrantes e negativa no terceiro e quarto quadrantes do círculo trigonométrico. Vamos considerar o período da função
, que é
.
Portanto:
- Crescendo: Quando
, ou seja, nos intervalos para todo inteiro . - Decrescendo: Quando
, ou seja, nos intervalos e para todo inteiro .
Resposta
A função
é:
- Crescente nos intervalos
para todo inteiro . - Decrescente nos intervalos
e para todo inteiro .