Justifique com um exemplo o motivo pelo qual nas hipóteses do Teorema do valor Extremo, o intervalo
é fechado.
Passo 1
Beleza, vamos entender qual é a parada aqui. A questão pede para a gente justificar, com um exemplo, por que no Teorema do Valor Extremo o intervalo
precisa ser fechado. Então, estamos falando de Análise Matemática, especificamente de cálculo que lida com funções contínuas em intervalos. Vamos precisar entender o que é um intervalo fechado e o que diz o Teorema do Valor Extremo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um intervalo fechado. Um intervalo
é fechado porque inclui os seus pontos finais, ou seja, tanto
quanto
fazem parte do intervalo. Isso é importante porque garante que a função tem pontos onde pode atingir seus valores máximos e mínimos dentro desse intervalo.
Passo 3
Agora, vamos revisar o Teorema do Valor Extremo. Esse teorema afirma que se uma função
é contínua em um intervalo fechado e limitado
, então
atinge seus valores máximos e mínimos nesse intervalo. Ou seja, existe pelo menos um ponto
em
tal que
é o maior valor que
atinge no intervalo, e pelo menos um ponto
em
tal que
é o menor valor.
Passo 4
Então, por que o intervalo precisa ser fechado? Se o intervalo não for fechado, digamos que seja aberto como
, os pontos
e
não estão incluídos. Isso pode fazer com que a função nunca atinja seus valores máximos ou mínimos dentro do intervalo, especialmente se ela tende a esses pontos sem nunca realmente alcançá-los.
Passo 5
Vamos a um exemplo para ilustrar isso. Considere a função
no intervalo aberto
. Essa função é contínua nesse intervalo, mas se tentarmos encontrar o valor máximo, vemos que à medida que
se aproxima de
,
tende a 1, e à medida que
se aproxima de
,
tende a
. Contudo, nenhum desses valores é realmente atingido dentro do intervalo aberto. Portanto, não temos máximos ou mínimos definidos em
.
Passo 6
Contrastando, se considerarmos o mesmo intervalo fechado
, então
e
. Agora, a função atinge seu valor máximo em
e o mínimo em
. Isso ocorre porque os pontos finais estão incluídos no intervalo, garantindo que os valores extremos sejam realmente alcançados.
Resposta
Portanto, o intervalo
precisa ser fechado no Teorema do Valor Extremo para garantir que a função contínua atinja seus valores máximos e mínimos, como demonstrado no exemplo da função
no intervalo fechado
.
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no intervalo dado, se possível. Justifique sua resposta.
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