Justifique com um exemplo o motivo pelo qual nas hipóteses do Teorema do valor Extremo, o intervalo é fechado.

Passo 1

Beleza, vamos entender qual é a parada aqui. A questão pede para a gente justificar, com um exemplo, por que no Teorema do Valor Extremo o intervalo precisa ser fechado. Então, estamos falando de Análise Matemática, especificamente de cálculo que lida com funções contínuas em intervalos. Vamos precisar entender o que é um intervalo fechado e o que diz o Teorema do Valor Extremo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um intervalo fechado. Um intervalo é fechado porque inclui os seus pontos finais, ou seja, tanto quanto fazem parte do intervalo. Isso é importante porque garante que a função tem pontos onde pode atingir seus valores máximos e mínimos dentro desse intervalo.

Passo 3

Agora, vamos revisar o Teorema do Valor Extremo. Esse teorema afirma que se uma função é contínua em um intervalo fechado e limitado , então atinge seus valores máximos e mínimos nesse intervalo. Ou seja, existe pelo menos um ponto em tal que é o maior valor que atinge no intervalo, e pelo menos um ponto em tal que é o menor valor.

Passo 4

Então, por que o intervalo precisa ser fechado? Se o intervalo não for fechado, digamos que seja aberto como , os pontos e não estão incluídos. Isso pode fazer com que a função nunca atinja seus valores máximos ou mínimos dentro do intervalo, especialmente se ela tende a esses pontos sem nunca realmente alcançá-los.

Passo 5

Vamos a um exemplo para ilustrar isso. Considere a função no intervalo aberto . Essa função é contínua nesse intervalo, mas se tentarmos encontrar o valor máximo, vemos que à medida que se aproxima de , tende a 1, e à medida que se aproxima de , tende a . Contudo, nenhum desses valores é realmente atingido dentro do intervalo aberto. Portanto, não temos máximos ou mínimos definidos em .

Passo 6

Contrastando, se considerarmos o mesmo intervalo fechado , então e . Agora, a função atinge seu valor máximo em e o mínimo em . Isso ocorre porque os pontos finais estão incluídos no intervalo, garantindo que os valores extremos sejam realmente alcançados.

Resposta

Portanto, o intervalo precisa ser fechado no Teorema do Valor Extremo para garantir que a função contínua atinja seus valores máximos e mínimos, como demonstrado no exemplo da função no intervalo fechado .

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