Diga em quais intervalos as funções
a seguir são crescentes e onde são decrescentes.
®
®
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para identificar em quais intervalos a função
está crescendo ou decrescendo. Para isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente derivadas, para analisar o comportamento da função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para descobrir onde a função está crescendo ou decrescendo, precisamos encontrar a sua derivada. A derivada nos mostra a taxa de variação da função. Se a derivada for positiva em um intervalo, a função está crescendo nesse intervalo. Se for negativa, está decrescendo.
Passo 3
Vamos então calcular a derivada de
. Como temos um produto de duas funções, vamos usar a regra do produto, que diz:
Aqui,
e
.
Primeiro, calculamos as derivadas individuais:
Passo 4
Aplicando a regra do produto:
Vamos simplificar essa expressão:
Para facilitar a análise, podemos fatorar
:
Simplificando dentro dos parênteses:
Passo 5
Agora, para encontrar os pontos críticos onde a derivada é zero ou não existe, definimos
:
Isso ocorre quando o numerador é zero:
Então, temos duas soluções:
Além disso, a derivada não existe quando o denominador é zero, ou seja, quando
.
Passo 6
Agora, vamos analisar os intervalos determinados por esses pontos críticos:
,
e
. Vamos testar valores em cada intervalo para ver o sinal da derivada:
-
Intervalo
:
Escolha: A derivada é positiva, então a função está crescendo. -
Intervalo
:
Escolha: Calculando os sinais:Dois negativos multiplicados dão positivo, então a derivada é positiva. A função está crescendo. -
Intervalo
:
Escolha: Calculando os sinais:Um negativo e um positivo multiplicados dão negativo, então a derivada é negativa. A função está decrescendo. -
Intervalo
:
Escolha: A derivada é positiva, então a função está crescendo.
Resposta
A função
é:
- Crescente nos intervalos
, e . - Decrescente no intervalo
.