Diga em quais intervalos as funções f a seguir são crescentes e onde são decrescentes.
® f(x) = x^(1/3) * (x - 1)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para identificar em quais intervalos a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente derivadas, para analisar o comportamento da função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para descobrir onde a função está crescendo ou decrescendo, precisamos encontrar a sua derivada. A derivada nos mostra a taxa de variação da função. Se a derivada for positiva em um intervalo, a função está crescendo nesse intervalo. Se for negativa, está decrescendo.

Passo 3

Vamos então calcular a derivada de . Como temos um produto de duas funções, vamos usar a regra do produto, que diz:
Aqui, e .
Primeiro, calculamos as derivadas individuais:

Passo 4

Aplicando a regra do produto:
Vamos simplificar essa expressão:
Para facilitar a análise, podemos fatorar :
Simplificando dentro dos parênteses:

Passo 5

Agora, para encontrar os pontos críticos onde a derivada é zero ou não existe, definimos :
Isso ocorre quando o numerador é zero:
Então, temos duas soluções:
Além disso, a derivada não existe quando o denominador é zero, ou seja, quando .

Passo 6

Agora, vamos analisar os intervalos determinados por esses pontos críticos: , e . Vamos testar valores em cada intervalo para ver o sinal da derivada:
  1. Intervalo :
    Escolha :
    A derivada é positiva, então a função está crescendo.
  2. Intervalo :
    Escolha :
    Calculando os sinais:
    Dois negativos multiplicados dão positivo, então a derivada é positiva. A função está crescendo.
  3. Intervalo :
    Escolha :
    Calculando os sinais:
    Um negativo e um positivo multiplicados dão negativo, então a derivada é negativa. A função está decrescendo.
  4. Intervalo :
    Escolha :
    A derivada é positiva, então a função está crescendo.

Resposta

A função é:
  • Crescente nos intervalos , e .
  • Decrescente no intervalo .

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<html><head></head><body><div>Diga em quais intervalos as funções <span class="math-inline " data-overflow=“visible”>
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http://www.w3.org/2000/svg” width=“1.244ex” height=“2.059ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -705 550 910”><title>f</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D453” d=“M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z”></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> a seguir são crescentes e onde são decrescentes.<br>
(k) <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.985ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“14.929ex” height=“2.682ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -750 6598.5 1185.3”><title>f(x) = x / (x^2 - 5x + 6)</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D453” d=“M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 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433 263 433H267Q313 433 348 414Q372 400 396 374T435 317Q456 268 456 210V192Q456 169 451 149Q440 90 387 34T253 -22Q225 -22 199 -14T143 16T92 75T56 172T42 313ZM257 397Q227 397 205 380T171 335T154 278T148 216Q148 133 160 97T198 39Q222 21 251 21Q302 21 329 59Q342 77 347 104T352 209Q352 289 347 316T329 361Q302 397 257 397Z”></path></g></g><rect width=“3125” height=“60” x=“120” y=“220”></rect></g></g></g></svg></mjx-container></span></div>
</body></html>
<html><head></head><body><div>Problemas.<br>
(f) Encontre a área do maior retângulo que pode ser inscrito em uma circunferência de raio <span class="math-inline " data-overflow=“visible”>
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.048ex;” xmlns=“
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</body></html>
<html><head></head><body><div>Encontre os valores máximos e mínimos locais e globais de <span class=“math-inline " data-overflow=“visible”>
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.464ex;” xmlns=“
http://www.w3.org/2000/svg” width=“1.244ex” height=“2.059ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -705 550 910”><title>f</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D453” d=“M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z”></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>. Justifique sua resposta.<br>
(i) <span class=“math-inline “>
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.756ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“18.772ex” height=“2.642ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -833.9 8297.2 1167.9”><title>f(x) = |x^2 - 25| ; R</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D453” d=“M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 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