Diga em quais intervalos as funções f a seguir são crescentes e onde são decrescentes.
® f(x) = x^(1/3) * (x - 1)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para identificar em quais intervalos a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente derivadas, para analisar o comportamento da função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para descobrir onde a função está crescendo ou decrescendo, precisamos encontrar a sua derivada. A derivada nos mostra a taxa de variação da função. Se a derivada for positiva em um intervalo, a função está crescendo nesse intervalo. Se for negativa, está decrescendo.

Passo 3

Vamos então calcular a derivada de . Como temos um produto de duas funções, vamos usar a regra do produto, que diz:
Aqui, e .
Primeiro, calculamos as derivadas individuais:

Passo 4

Aplicando a regra do produto:
Vamos simplificar essa expressão:
Para facilitar a análise, podemos fatorar :
Simplificando dentro dos parênteses:

Passo 5

Agora, para encontrar os pontos críticos onde a derivada é zero ou não existe, definimos :
Isso ocorre quando o numerador é zero:
Então, temos duas soluções:
Além disso, a derivada não existe quando o denominador é zero, ou seja, quando .

Passo 6

Agora, vamos analisar os intervalos determinados por esses pontos críticos: , e . Vamos testar valores em cada intervalo para ver o sinal da derivada:
  1. Intervalo :
    Escolha :
    A derivada é positiva, então a função está crescendo.
  2. Intervalo :
    Escolha :
    Calculando os sinais:
    Dois negativos multiplicados dão positivo, então a derivada é positiva. A função está crescendo.
  3. Intervalo :
    Escolha :
    Calculando os sinais:
    Um negativo e um positivo multiplicados dão negativo, então a derivada é negativa. A função está decrescendo.
  4. Intervalo :
    Escolha :
    A derivada é positiva, então a função está crescendo.

Resposta

A função é:
  • Crescente nos intervalos , e .
  • Decrescente no intervalo .

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