Problemas.
(f) Encontre a área do maior retângulo que pode ser inscrito em uma circunferência de raio
.
(f) Encontre a área do maior retângulo que pode ser inscrito em uma circunferência de raio
Passo 1
Beleza, então o problema manda a gente encontrar a área do maior retângulo que pode caber dentro de uma circunferência de raio
. Isso envolve geometria, especificamente conceitos sobre circunferências e retângulos inscritos. Vamos precisar usar o Teorema de Pitágoras e um pouco de cálculo para otimizar a área.
Passo 2
Vamos imaginar o retângulo inscrito na circunferência. Se o raio da circunferência é
, então o diâmetro é
. Os vértices do retângulo tocam a circunferência, então a diagonal do retângulo será igual ao diâmetro da circunferência.
Passo 3
Vamos chamar os lados do retângulo de
e
. Pela relação do Teorema de Pitágoras, a diagonal do retângulo satisfaz:
Isso nos dá uma relação entre os lados
e
do retângulo.
Passo 4
A área
do retângulo é dada por:
Queremos maximizar essa área. Podemos expressar
em termos de
usando a equação anterior:
Então, a área fica:
Passo 5
Para encontrar o valor de
que maximiza
, derivamos
em relação a
e igualamos a zero:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por
:
Substituindo
na equação de
:
Resposta
O maior retângulo que pode ser inscrito em uma circunferência de raio
é um quadrado com lados de comprimento
e, portanto, a área máxima é: