Problemas.
(f) Encontre a área do maior retângulo que pode ser inscrito em uma circunferência de raio R.

Passo 1

Beleza, então o problema manda a gente encontrar a área do maior retângulo que pode caber dentro de uma circunferência de raio . Isso envolve geometria, especificamente conceitos sobre circunferências e retângulos inscritos. Vamos precisar usar o Teorema de Pitágoras e um pouco de cálculo para otimizar a área.

Passo 2

Vamos imaginar o retângulo inscrito na circunferência. Se o raio da circunferência é , então o diâmetro é . Os vértices do retângulo tocam a circunferência, então a diagonal do retângulo será igual ao diâmetro da circunferência.

Passo 3

Vamos chamar os lados do retângulo de e . Pela relação do Teorema de Pitágoras, a diagonal do retângulo satisfaz:
Isso nos dá uma relação entre os lados e do retângulo.

Passo 4

A área do retângulo é dada por:
Queremos maximizar essa área. Podemos expressar em termos de usando a equação anterior:
Então, a área fica:

Passo 5

Para encontrar o valor de que maximiza , derivamos em relação a e igualamos a zero:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por :
Substituindo na equação de :

Resposta

O maior retângulo que pode ser inscrito em uma circunferência de raio é um quadrado com lados de comprimento e, portanto, a área máxima é:

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