Diga em quais intervalos as funções a seguir são crescentes e onde são decrescentes.
(i)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir em que intervalos a função está crescendo e onde está decrescendo. Para resolver isso, vamos usar o cálculo diferencial, mais especificamente a derivada da função. A derivada nos ajuda a entender o comportamento da função em termos de aumento ou diminuição.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função . Vamos usar a regra do quociente para derivar . A regra do quociente diz que se temos uma função , sua derivada é .
No nosso caso, e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de e :
  • (a derivada de uma constante é zero).
  • (derivando termo a termo).

Passo 4

Aplicando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:

Passo 5

Vamos simplificar ainda mais o numerador:
Então, a derivada fica:

Passo 6

Para encontrar onde a função está crescendo ou decrescendo, precisamos analisar o sinal da derivada . A função está crescendo onde e decrescendo onde .
Vamos focar no numerador, já que o denominador é sempre positivo (pois é um quadrado).
Então, precisamos resolver:

Passo 7

Vamos fatorar o numerador:
Agora, fatorando o polinômio quadrático:
Então, temos:

Passo 8

Agora, temos a expressão fatorada da derivada:
Como o denominador é sempre positivo, o sinal de depende apenas do numerador:

Passo 9

Vamos analisar os pontos críticos onde o numerador é zero:
Esses valores dividem a reta real em intervalos que iremos analisar:

Passo 10

Vamos escolher um valor de teste em cada intervalo e verificar o sinal da derivada:
  1. Para , vamos testar :
    Então, → Decrescente.
  2. Para , vamos testar :
    Então, → Decrescente.
  3. Para , vamos testar :
    Então, → Crescente.
  4. Para , vamos testar :
    Então, → Decrescente.

Resposta

A função é:
  • Decrescente nos intervalos , e .
  • Crescente no intervalo .

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