Diga em quais intervalos as funções
a seguir são crescentes e onde são decrescentes.
(i)
(i)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir em que intervalos a função
está crescendo e onde está decrescendo. Para resolver isso, vamos usar o cálculo diferencial, mais especificamente a derivada da função. A derivada nos ajuda a entender o comportamento da função em termos de aumento ou diminuição.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função
. Vamos usar a regra do quociente para derivar
. A regra do quociente diz que se temos uma função
, sua derivada é
.
No nosso caso,
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
e
:
-
(a derivada de uma constante é zero). -
(derivando termo a termo).
Passo 4
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Passo 5
Vamos simplificar ainda mais o numerador:
Então, a derivada fica:
Passo 6
Para encontrar onde a função está crescendo ou decrescendo, precisamos analisar o sinal da derivada
. A função está crescendo onde
e decrescendo onde
.
Vamos focar no numerador, já que o denominador
é sempre positivo (pois é um quadrado).
Então, precisamos resolver:
Passo 7
Vamos fatorar o numerador:
Agora, fatorando o polinômio quadrático:
Então, temos:
Passo 8
Agora, temos a expressão fatorada da derivada:
Como o denominador é sempre positivo, o sinal de
depende apenas do numerador:
Passo 9
Vamos analisar os pontos críticos onde o numerador é zero:
Esses valores dividem a reta real em intervalos que iremos analisar:
Passo 10
Vamos escolher um valor de teste em cada intervalo e verificar o sinal da derivada:
-
Para
, vamos testar : Então,→ Decrescente. -
Para
, vamos testar : Então,→ Decrescente. -
Para
, vamos testar : Então,→ Crescente. -
Para
, vamos testar : Então,→ Decrescente.
Resposta
A função
é:
- Decrescente nos intervalos
, e . - Crescente no intervalo
.
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