Diga em quais intervalos as funções
a seguir são crescentes e onde são decrescentes.
(h)
(h)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para identificar onde a função
está crescendo e onde está decrescendo. Para isso, vamos trabalhar com cálculo diferencial, especificamente estudando a derivada da função. A derivada nos ajuda a entender o comportamento da função em termos de crescimento e decrescimento.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função
. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dela. Se a derivada for positiva em um intervalo, a função está crescendo nesse intervalo. Se for negativa, está decrescendo.
A função é:
Vamos derivar termo por termo:
Calculando cada derivada:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a expressão da derivada:
Podemos fatorar
que é comum nos três termos:
Em seguida, vamos fatorar o polinômio quadrático dentro dos parênteses:
Então, a derivada fatorada fica:
Passo 4
Para encontrar os intervalos onde a função está crescendo ou decrescendo, precisamos determinar onde a derivada
é positiva ou negativa. Os pontos onde
são chamados de pontos críticos e dividem a reta numérica em intervalos que vamos analisar.
Vamos resolver
:
As soluções são:
Esses pontos dividem a linha dos números reais em quatro intervalos:
Passo 5
Agora, vamos testar o sinal de
em cada intervalo:
-
Para
:
Escolha: Então,, a função está crescente. -
Para
:
Escolha: Então,, a função está decrescendo. -
Para
:
Escolha: Então,, a função está decrescendo. -
Para
:
Escolha: Então,, a função está crescente.
Resposta
A função
é crescente nos intervalos
e
, e é decrescente nos intervalos
e
.
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no intervalo dado, se possível. Justifique sua resposta.
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