Diga em quais intervalos as funções a seguir são crescentes e onde são decrescentes.
(h)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para identificar onde a função está crescendo e onde está decrescendo. Para isso, vamos trabalhar com cálculo diferencial, especificamente estudando a derivada da função. A derivada nos ajuda a entender o comportamento da função em termos de crescimento e decrescimento.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função . A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dela. Se a derivada for positiva em um intervalo, a função está crescendo nesse intervalo. Se for negativa, está decrescendo.
A função é:
Vamos derivar termo por termo:
Calculando cada derivada:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão da derivada:
Podemos fatorar que é comum nos três termos:
Em seguida, vamos fatorar o polinômio quadrático dentro dos parênteses:
Então, a derivada fatorada fica:

Passo 4

Para encontrar os intervalos onde a função está crescendo ou decrescendo, precisamos determinar onde a derivada é positiva ou negativa. Os pontos onde são chamados de pontos críticos e dividem a reta numérica em intervalos que vamos analisar.
Vamos resolver :
As soluções são:
Esses pontos dividem a linha dos números reais em quatro intervalos:

Passo 5

Agora, vamos testar o sinal de em cada intervalo:
  1. Para :
    Escolha :
    Então, , a função está crescente.
  2. Para :
    Escolha :
    Então, , a função está decrescendo.
  3. Para :
    Escolha :
    Então, , a função está decrescendo.
  4. Para :
    Escolha :
    Então, , a função está crescente.

Resposta

A função é crescente nos intervalos e , e é decrescente nos intervalos e .

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