Seja uma função contínua. Mostre que é uma solução para a equação diferencial com condição inicial .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função contínua e precisa mostrar que a função resolve a equação diferencial com a condição inicial . Vamos usar conceitos de cálculo integral e diferencial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a condição inicial. Isso significa que quando , o valor de deve ser igual a . Vamos substituir por na expressão de :

Passo 3

A integral de qualquer função de até é zero, porque não há área sob a curva. Então:
Então, a condição inicial está satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos mostrar que satisfaz a equação diferencial . Para isso, precisamos calcular a derivada de em relação a .

Passo 5

A derivada de em relação a é zero, pois é uma constante. Então, resta derivar a integral:

Passo 6

Pela regra fundamental do cálculo, a derivada de uma integral de até de dt é simplesmente . Portanto:

Resposta

Assim, mostramos que satisfaz tanto a condição inicial quanto a equação diferencial . Portanto, é realmente uma solução para a equação dada.

Exercícios relacionados

Diga se os itens abaixo são verdadeiros ou falsos. Tente, mesmo que informalmente, justificar suas respostas.
Como o resultado de uma integral é uma área, então o resultado de uma integral sempre é maior ou igual a 0 .
Diga se os itens abaixo são verdadeiros ou falsos. Tente, mesmo que informalmente, justificar suas respostas.
Se é contínua por partes em , então é integrável em .
Utilize o exercício acima para concluir que se um objeto possui função velocidade , com contínua, e posição inicial , então sua função posição é dada por
Em cada item, utilize o Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo, propriedades da integral (se necessário) e as regras de derivação (se necessário) para calcular a derivada da função .
.