Seja
uma função contínua. Mostre que
é uma solução para a equação diferencial
com condição inicial
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função contínua
e precisa mostrar que a função
resolve a equação diferencial
com a condição inicial
. Vamos usar conceitos de cálculo integral e diferencial para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a condição inicial. Isso significa que quando
, o valor de
deve ser igual a
. Vamos substituir
por
na expressão de
:
Passo 3
A integral de qualquer função de
até
é zero, porque não há área sob a curva. Então:
Então, a condição inicial está satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos mostrar que
satisfaz a equação diferencial
. Para isso, precisamos calcular a derivada de
em relação a
.
Passo 5
A derivada de
em relação a
é zero, pois
é uma constante. Então, resta derivar a integral:
Passo 6
Pela regra fundamental do cálculo, a derivada de uma integral de
até
de
dt é simplesmente
. Portanto:
Resposta
Assim, mostramos que
satisfaz tanto a condição inicial
quanto a equação diferencial
. Portanto,
é realmente uma solução para a equação dada.
Exercícios relacionados
Diga se os itens abaixo são verdadeiros ou falsos. Tente, mesmo que informalmente, justificar suas respostas.
Como o resultado de uma integral é uma área, então o resultado de uma integral sempre é maior ou igual a 0 .
Como o resultado de uma integral é uma área, então o resultado de uma integral sempre é maior ou igual a 0 .
Diga se os itens abaixo são verdadeiros ou falsos. Tente, mesmo que informalmente, justificar suas respostas.
Se é contínua por partes em
, então
é integrável em
.
Se
Utilize o exercício acima para concluir que se um objeto possui função velocidade
, com
contínua, e posição inicial
, então sua função posição
é dada por
Em cada item, utilize o Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo, propriedades da integral (se necessário) e as regras de derivação (se necessário) para calcular a derivada da função
.
.