Diga se os limites abaixo existem. Justifique sua resposta.
lim x 2 x^2-4|x^2-4|

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo e quais tópicos vamos usar. Queremos saber se o limite quando se aproxima de 2 da expressão existe. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites laterais e análise de funções envolvendo valores absolutos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão do limite. Notamos que x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) pode ser fatorado:
(x - 2)(x + 2)|(x - 2)(x + 2)|
Então, a expressão do limite fica:

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento da função conforme se aproxima de 2. O valor absoluto no denominador garante que o denominador seja sempre positivo, então a expressão inteira dependerá do sinal do numerador.

Passo 4

Vamos calcular os limites laterais, ou seja, quando positivopositivo = 1 se aproxima de 2 pela direita ( negativopositivo = -1 ) e pela esquerda ( ).
Quando :
  • é positivo (já que é um pouco maior que 2).
  • é sempre positivo.
Então, o numerador e o denominador são positivos, e a expressão vale:
Quando :
  • é negativo (já que é um pouco menor que 2).
  • é sempre positivo.
Então, o numerador é negativo e o denominador é positivo, e a expressão vale:

Passo 5

Com os limites laterais calculados, observamos que:
limx to 2^+ x^2 - 4|x^2 - 4| = 1
limx to 2^- x^2 - 4|x^2 - 4| = -1
Como os limites pela direita e pela esquerda são diferentes, o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe porque os limites laterais são diferentes: 1 pela direita e -1 pela esquerda.

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