Diga se os limites abaixo existem. Justifique sua resposta.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo e quais tópicos vamos usar. Queremos saber se o limite quando
se aproxima de 2 da expressão
existe. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites laterais e análise de funções envolvendo valores absolutos.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão do limite. Notamos que
pode ser fatorado:
Então, a expressão do limite fica:
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento da função
conforme
se aproxima de 2. O valor absoluto no denominador garante que o denominador seja sempre positivo, então a expressão inteira dependerá do sinal do numerador.
Passo 4
Vamos calcular os limites laterais, ou seja, quando
se aproxima de 2 pela direita (
) e pela esquerda (
).
Quando
:
-
é positivo (já que é um pouco maior que 2). -
é sempre positivo.
Então, o numerador e o denominador são positivos, e a expressão vale:
Quando
:
-
é negativo (já que é um pouco menor que 2). -
é sempre positivo.
Então, o numerador é negativo e o denominador é positivo, e a expressão vale:
Passo 5
Com os limites laterais calculados, observamos que:
Como os limites pela direita e pela esquerda são diferentes, o limite geral não existe.
Resposta
O limite não existe porque os limites laterais são diferentes: 1 pela direita e -1 pela esquerda.
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