Diga se os limites abaixo existem. Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem o limite
. Estamos trabalhando com Cálculo, especificamente com limites de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a função
e como ela se comporta perto de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é
. A função secante é o inverso do cosseno, ou seja:
Então, para achar o limite de
quando
se aproxima de
, precisamos entender o que acontece com
nesse ponto.
Passo 3
Sabemos que
. Isso significa que, exatamente em
,
não está definida porque ficaríamos dividindo por zero. Mas os limites têm a ver com o que acontece quando
se aproxima de
, não exatamente no ponto.
Passo 4
Vamos analisar o comportamento de
quando
se aproxima de
por valores menores e maiores que
:
-
Quando
se aproxima de pela esquerda ( ):
está se aproximando de 0 por valores positivos, então vai para . -
Quando
se aproxima de pela direita ( ):
está se aproximando de 0 por valores negativos, então vai para .
Passo 5
Como os limites laterais não são iguais (
e
), isso significa que o limite geral não existe. Para que o limite exista, os dois lados devem se aproximar do mesmo valor.
Resposta
O limite
não existe porque os limites laterais são diferentes (
e
).
Exercícios relacionados
Diga se os limites abaixo existem. Justifique sua resposta.
Diga se os limites abaixo existem. Justifique sua resposta.
Determine, caso existam, as assíntotas verticais dos gráficos das funções a seguir
Determine, caso existam, as assíntotas verticais dos gráficos das funções a seguir