Diga se os limites abaixo existem. Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem o limite . Estamos trabalhando com Cálculo, especificamente com limites de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a função e como ela se comporta perto de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é . A função secante é o inverso do cosseno, ou seja:
Então, para achar o limite de quando se aproxima de , precisamos entender o que acontece com nesse ponto.

Passo 3

Sabemos que . Isso significa que, exatamente em , não está definida porque ficaríamos dividindo por zero. Mas os limites têm a ver com o que acontece quando se aproxima de , não exatamente no ponto.

Passo 4

Vamos analisar o comportamento de quando se aproxima de por valores menores e maiores que :
  • Quando se aproxima de pela esquerda ( ):
    está se aproximando de 0 por valores positivos, então vai para .
  • Quando se aproxima de pela direita ( ):
    está se aproximando de 0 por valores negativos, então vai para .

Passo 5

Como os limites laterais não são iguais ( e ), isso significa que o limite geral não existe. Para que o limite exista, os dois lados devem se aproximar do mesmo valor.

Resposta

O limite não existe porque os limites laterais são diferentes ( e ).

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