Diga se os limites abaixo existem. Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se o limite da função existe quando se aproxima de 5. Isso está relacionado ao estudo de limites, que é uma parte fundamental do cálculo. Para resolver isso, vamos analisar o comportamento da função conforme se aproxima de 5.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que acontece com o denominador quando se aproxima de 5. Se substituirmos 5 diretamente, temos , o que nos leva a uma divisão por zero. Isso indica que a função pode estar tendendo ao infinito ou ao menos estar sem limite definido.

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento da função à medida que se aproxima de 5 por valores maiores e menores que 5.
  • Quando se aproxima de 5 pela direita (valores maiores que 5):
    • será um número positivo que está ficando cada vez menor.
    • Assim, estará se tornando um número positivo muito grande, tendendo ao .
  • Quando se aproxima de 5 pela esquerda (valores menores que 5):
    • será um número negativo que está ficando cada vez menor em módulo.
    • Assim, estará se tornando um número negativo muito grande, tendendo ao .

Passo 4

Como vimos, os limites laterais são diferentes:
Quando os limites laterais não são iguais, o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe, pois os limites laterais são diferentes: um tende a e o outro a .

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