Diga se os limites abaixo existem. Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se o limite da função
existe quando
se aproxima de 5. Isso está relacionado ao estudo de limites, que é uma parte fundamental do cálculo. Para resolver isso, vamos analisar o comportamento da função conforme
se aproxima de 5.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que acontece com o denominador
quando
se aproxima de 5. Se substituirmos 5 diretamente, temos
, o que nos leva a uma divisão por zero. Isso indica que a função pode estar tendendo ao infinito ou ao menos estar sem limite definido.
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento da função à medida que
se aproxima de 5 por valores maiores e menores que 5.
-
Quando
se aproxima de 5 pela direita (valores maiores que 5): -
será um número positivo que está ficando cada vez menor. - Assim,
estará se tornando um número positivo muito grande, tendendo ao .
-
-
Quando
se aproxima de 5 pela esquerda (valores menores que 5): -
será um número negativo que está ficando cada vez menor em módulo. - Assim,
estará se tornando um número negativo muito grande, tendendo ao .
-
Passo 4
Como vimos, os limites laterais são diferentes:
Quando os limites laterais não são iguais, o limite geral não existe.
Resposta
O limite
não existe, pois os limites laterais são diferentes: um tende a
e o outro a
.
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