Sejam
e
três eventos independentes. Mostre que
e
são independentes.
Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado diz que temos três eventos independentes:
e
. Nosso objetivo é mostrar que, se a gente substituir
pelo complemento dele,
, os três eventos
e
também permanecem independentes. Para isso, vamos precisar entender o que significa independência de eventos e como o complemento de um evento se comporta em relação a essa independência.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa que três eventos são independentes. Três eventos
e
são independentes se e somente se todas as combinações possíveis deles também forem independentes. Ou seja:
Essas condições garantem que a ocorrência de um evento não afeta a ocorrência dos outros.
Passo 3
Agora, queremos mostrar que
e
também são independentes. Vamos verificar as mesmas condições:
- Independência entre
e :
Sabemos que
.
Como
e
são independentes, temos
.
Então:
Isso mostra que
e
são independentes.
- Independência entre
e :
De forma semelhante:
Assim,
e
também são independentes.
- Independência entre
e :
Isso já é garantido pelo enunciado, já que os três eventos originais são independentes.
- Independência entre os três eventos
e :
Precisamos verificar se:
Calculando o lado esquerdo:
Como os eventos são independentes:
Então:
Portanto, os três eventos
e
são independentes.
Resposta
Os eventos
e
são independentes.
Exercícios relacionados
João tem duas moedas idênticas, a não ser pelo fato de terem probabilidades diferentes de sair cara. Uma delas é honesta, ou seja, tem probabilidade
de sair cara. A outra é desonesta, e tem probabilidade
de sair cara. Uma moeda é escolhida ao acaso e lançada resultando em cara. Qual a probabilidade de ter sido a moeda honesta?
Diga se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas. Em caso de ser verdadeira dê uma prova. Em caso de ser falsa, dê um contraexemplo. Se
é independente de
e
é independente de
e
, então
é independente de
.
Diga se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas. Em caso de ser verdadeira dê uma prova. Em caso de ser falsa, dê um contraexemplo. Se
é independente de
é independente de
e
é independente de
, então
é independente de
.
Joana tem três moedas na bolsa; duas honestas e uma terceira desonesta com probabilidade
de sair cara e probabilidade
de sair coroa. Uma moeda é escolhida ao acaso e lançada resultando em cara. Qual a probabilidade de ter sido uma das moedas honestas?