Sejam e três eventos independentes. Mostre que e são independentes.

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado diz que temos três eventos independentes: e . Nosso objetivo é mostrar que, se a gente substituir pelo complemento dele, , os três eventos e também permanecem independentes. Para isso, vamos precisar entender o que significa independência de eventos e como o complemento de um evento se comporta em relação a essa independência.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa que três eventos são independentes. Três eventos e são independentes se e somente se todas as combinações possíveis deles também forem independentes. Ou seja:
Essas condições garantem que a ocorrência de um evento não afeta a ocorrência dos outros.

Passo 3

Agora, queremos mostrar que e também são independentes. Vamos verificar as mesmas condições:
  1. Independência entre e :
Sabemos que .
Como e são independentes, temos .
Então:
Isso mostra que e são independentes.
  1. Independência entre e :
De forma semelhante:
Assim, e também são independentes.
  1. Independência entre e :
Isso já é garantido pelo enunciado, já que os três eventos originais são independentes.
  1. Independência entre os três eventos e :
Precisamos verificar se:
Calculando o lado esquerdo:
Como os eventos são independentes:
Então:
Portanto, os três eventos e são independentes.

Resposta

Os eventos e são independentes.

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