Sejam
e
três eventos independentes. Mostre que
e
são independentes.
Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado diz que temos três eventos independentes:
e
. Nosso objetivo é mostrar que, se a gente substituir
pelo complemento dele,
, os três eventos
e
também permanecem independentes. Para isso, vamos precisar entender o que significa independência de eventos e como o complemento de um evento se comporta em relação a essa independência.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa que três eventos são independentes. Três eventos
e
são independentes se e somente se todas as combinações possíveis deles também forem independentes. Ou seja:
Essas condições garantem que a ocorrência de um evento não afeta a ocorrência dos outros.
Passo 3
Agora, queremos mostrar que
e
também são independentes. Vamos verificar as mesmas condições:
- Independência entre
e :
Sabemos que
.
Como
e
são independentes, temos
.
Então:
Isso mostra que
e
são independentes.
- Independência entre
e :
De forma semelhante:
Assim,
e
também são independentes.
- Independência entre
e :
Isso já é garantido pelo enunciado, já que os três eventos originais são independentes.
- Independência entre os três eventos
e :
Precisamos verificar se:
Calculando o lado esquerdo:
Como os eventos são independentes:
Então:
Portanto, os três eventos
e
são independentes.
Resposta
Os eventos
e
são independentes.