João tem duas moedas idênticas, a não ser pelo fato de terem probabilidades diferentes de sair cara. Uma delas é honesta, ou seja, tem probabilidade de sair cara. A outra é desonesta, e tem probabilidade de sair cara. Uma moeda é escolhida ao acaso e lançada resultando em cara. Qual a probabilidade de ter sido a moeda honesta?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. O João tem duas moedas que parecem iguais, mas uma delas é honesta e a outra é desonesta. A moeda honesta tem 50% de chance de dar cara ( ) e a desonesta tem 33,3% de chance de dar cara ( ). Ele escolhe uma moeda ao acaso, joga e dá cara. Queremos descobrir qual a probabilidade de ele ter escolhido a moeda honesta. Vamos precisar usar conceitos de probabilidade condicional para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as probabilidades individuais:
  • Probabilidade de escolher a moeda honesta ( ): como são duas moedas escolhidas ao acaso, .
  • Probabilidade de escolher a moeda desonesta ( ): igualmente, .

Passo 3

Agora, vamos considerar a probabilidade de dar cara em cada situação:
  • Se escolheu a moeda honesta, a probabilidade de dar cara ( ) é .
  • Se escolheu a moeda desonesta, a probabilidade de dar cara ( ) é .

Passo 4

A próxima etapa é calcular a probabilidade total de dar cara ( ). Usamos a regra da probabilidade total:

Passo 5

Agora, queremos encontrar , a probabilidade de ter escolhido a moeda honesta dado que deu cara. Usamos a fórmula de Bayes:

Resposta

A probabilidade de ter sido a moeda honesta é , ou 60%.

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