João tem duas moedas idênticas, a não ser pelo fato de terem probabilidades diferentes de sair cara. Uma delas é honesta, ou seja, tem probabilidade
de sair cara. A outra é desonesta, e tem probabilidade
de sair cara. Uma moeda é escolhida ao acaso e lançada resultando em cara. Qual a probabilidade de ter sido a moeda honesta?
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. O João tem duas moedas que parecem iguais, mas uma delas é honesta e a outra é desonesta. A moeda honesta tem 50% de chance de dar cara (
) e a desonesta tem 33,3% de chance de dar cara (
). Ele escolhe uma moeda ao acaso, joga e dá cara. Queremos descobrir qual a probabilidade de ele ter escolhido a moeda honesta. Vamos precisar usar conceitos de probabilidade condicional para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as probabilidades individuais:
- Probabilidade de escolher a moeda honesta (
): como são duas moedas escolhidas ao acaso, . - Probabilidade de escolher a moeda desonesta (
): igualmente, .
Passo 3
Agora, vamos considerar a probabilidade de dar cara em cada situação:
- Se escolheu a moeda honesta, a probabilidade de dar cara (
) é . - Se escolheu a moeda desonesta, a probabilidade de dar cara (
) é .
Passo 4
A próxima etapa é calcular a probabilidade total de dar cara (
). Usamos a regra da probabilidade total:
Passo 5
Agora, queremos encontrar
, a probabilidade de ter escolhido a moeda honesta dado que deu cara. Usamos a fórmula de Bayes:
Resposta
A probabilidade de ter sido a moeda honesta é
, ou 60%.
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