Diga se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas. Em caso de ser verdadeira dê uma prova. Em caso de ser falsa, dê um contraexemplo. Se E é independente de F, F é independente de G e E é independente de F ∩ G, então G é independente de E ∩ F.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente dizer se uma afirmação sobre independência de eventos é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, a gente mostra uma prova; se for falsa, a gente dá um contraexemplo. O conteúdo aqui envolve probabilidade e o conceito de independência de eventos. Vamos precisar entender o que significa dois eventos serem independentes para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é independência de eventos. Dois eventos e são independentes se a ocorrência de um não afeta a probabilidade do outro. Matemáticamente, isso significa que:

Passo 3

Agora, vamos analisar a afirmação:
Se é independente de , é independente de , e é independente de , então é independente de .
Queremos verificar se essa afirmação é verdadeira.

Passo 4

Vamos traduzir isso matematicamente:
  1. independente de :
  1. independente de :
  1. independente de :

Passo 5

Queremos mostrar que é independente de , ou seja:
Sabendo que , e já temos que:

Passo 6

Portanto, a igualdade:
está satisfeita, o que significa que é realmente independente de .

Resposta

A afirmação é verdadeira. Conforme provado, é independente de quando é independente de , é independente de , e é independente de .

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