Diga se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas. Em caso de ser verdadeira dê uma prova. Em caso de ser falsa, dê um contraexemplo. Se
é independente de
é independente de
e
é independente de
, então
é independente de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente dizer se uma afirmação sobre independência de eventos é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, a gente mostra uma prova; se for falsa, a gente dá um contraexemplo. O conteúdo aqui envolve probabilidade e o conceito de independência de eventos. Vamos precisar entender o que significa dois eventos serem independentes para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é independência de eventos. Dois eventos
e
são independentes se a ocorrência de um não afeta a probabilidade do outro. Matemáticamente, isso significa que:
Passo 3
Agora, vamos analisar a afirmação:
Se
é independente de
,
é independente de
, e
é independente de
, então
é independente de
.
Queremos verificar se essa afirmação é verdadeira.
Passo 4
Vamos traduzir isso matematicamente:
-
independente de :
-
independente de :
-
independente de :
Passo 5
Queremos mostrar que
é independente de
, ou seja:
Sabendo que
, e já temos que:
Passo 6
Portanto, a igualdade:
está satisfeita, o que significa que
é realmente independente de
.
Resposta
A afirmação é verdadeira. Conforme provado,
é independente de
quando
é independente de
,
é independente de
, e
é independente de
.
Exercícios relacionados
Sejam
e
três eventos independentes. Mostre que
e
são independentes.
João tem duas moedas idênticas, a não ser pelo fato de terem probabilidades diferentes de sair cara. Uma delas é honesta, ou seja, tem probabilidade
de sair cara. A outra é desonesta, e tem probabilidade
de sair cara. Uma moeda é escolhida ao acaso e lançada resultando em cara. Qual a probabilidade de ter sido a moeda honesta?
Joana tem três moedas na bolsa; duas honestas e uma terceira desonesta com probabilidade
de sair cara e probabilidade
de sair coroa. Uma moeda é escolhida ao acaso e lançada resultando em cara. Qual a probabilidade de ter sido uma das moedas honestas?
Maria e Carolina decidem ir a um clube para praticar tiro ao alvo. Suponha que, a cada disparo, Maria acerta o centro do alvo com probabilidade
, enquanto que Carolina o acerta com probabilidade
. Suponha que as duas disparam simultaneamente e que o centro do alvo foi atingido. Qual é a suposição de independência feita?