Diga se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas. Em caso de ser verdadeira dê uma prova. Em caso de ser falsa, dê um contraexemplo. Se é independente de é independente de e é independente de , então é independente de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente dizer se uma afirmação sobre independência de eventos é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, a gente mostra uma prova; se for falsa, a gente dá um contraexemplo. O conteúdo aqui envolve probabilidade e o conceito de independência de eventos. Vamos precisar entender o que significa dois eventos serem independentes para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é independência de eventos. Dois eventos e são independentes se a ocorrência de um não afeta a probabilidade do outro. Matemáticamente, isso significa que:

Passo 3

Agora, vamos analisar a afirmação:
Se é independente de , é independente de , e é independente de , então é independente de .
Queremos verificar se essa afirmação é verdadeira.

Passo 4

Vamos traduzir isso matematicamente:
  1. independente de :
  1. independente de :
  1. independente de :

Passo 5

Queremos mostrar que é independente de , ou seja:
Sabendo que , e já temos que:

Passo 6

Portanto, a igualdade:
está satisfeita, o que significa que é realmente independente de .

Resposta

A afirmação é verdadeira. Conforme provado, é independente de quando é independente de , é independente de , e é independente de .

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Sejam e três eventos independentes. Mostre que e são independentes.
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Joana tem três moedas na bolsa; duas honestas e uma terceira desonesta com probabilidade de sair cara e probabilidade de sair coroa. Uma moeda é escolhida ao acaso e lançada resultando em cara. Qual a probabilidade de ter sido uma das moedas honestas?
Maria e Carolina decidem ir a um clube para praticar tiro ao alvo. Suponha que, a cada disparo, Maria acerta o centro do alvo com probabilidade , enquanto que Carolina o acerta com probabilidade . Suponha que as duas disparam simultaneamente e que o centro do alvo foi atingido. Qual é a suposição de independência feita?