Joana tem três moedas na bolsa; duas honestas e uma terceira desonesta com probabilidade de sair cara e probabilidade de sair coroa. Uma moeda é escolhida ao acaso e lançada resultando em cara. Qual a probabilidade de ter sido uma das moedas honestas?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A Joana tem três moedas na bolsa: duas são honestas, ou seja, têm chance igual de dar cara ou coroa, e uma é desonesta, com probabilidade de dar cara e de dar coroa. A gente escolhe uma moeda ao acaso, lança ela e sai cara. A pergunta é: qual a probabilidade de que essa moeda escolhida foi uma das honestas?
Aqui, vamos usar conceitos de probabilidade condicional e o Teorema de Bayes para resolver o exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos definir os eventos para facilitar nossa análise:
  • Seja o evento de escolher uma moeda honesta.
  • Seja o evento de escolher a moeda desonesta.
  • Seja o evento de obter cara no lançamento.
Queremos encontrar a probabilidade de ter escolhido uma moeda honesta dado que saiu cara, simbolizado por .

Passo 3

Vamos calcular as probabilidades básicas envolvidas:
  • Como há 2 moedas honestas e 1 desonesta, a probabilidade de escolher uma moeda honesta é:
  • A probabilidade de escolher a moeda desonesta é:

Passo 4

Agora, vamos determinar a probabilidade de obter cara em cada caso:
  • Para uma moeda honesta, a probabilidade de dar cara é 50%, ou seja:
  • Já para a moeda desonesta, a probabilidade de dar cara é :

Passo 5

Aplicando o Teorema de Bayes, temos:
Primeiro, precisamos calcular , a probabilidade total de sair cara. Isso considera todas as maneiras de se obter cara:
Substituindo os valores:

Passo 6

Voltando à fórmula de Bayes:

Resposta

A probabilidade de que a moeda escolhida foi uma das honestas, dado que saiu cara, é igual a .

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