Joana tem três moedas na bolsa; duas honestas e uma terceira desonesta com probabilidade
de sair cara e probabilidade
de sair coroa. Uma moeda é escolhida ao acaso e lançada resultando em cara. Qual a probabilidade de ter sido uma das moedas honestas?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A Joana tem três moedas na bolsa: duas são honestas, ou seja, têm chance igual de dar cara ou coroa, e uma é desonesta, com probabilidade
de dar cara e
de dar coroa. A gente escolhe uma moeda ao acaso, lança ela e sai cara. A pergunta é: qual a probabilidade de que essa moeda escolhida foi uma das honestas?
Aqui, vamos usar conceitos de probabilidade condicional e o Teorema de Bayes para resolver o exercício.
Passo 2
Primeiro, vamos definir os eventos para facilitar nossa análise:
- Seja
o evento de escolher uma moeda honesta. - Seja
o evento de escolher a moeda desonesta. - Seja
o evento de obter cara no lançamento.
Queremos encontrar a probabilidade de ter escolhido uma moeda honesta dado que saiu cara, simbolizado por
.
Passo 3
Vamos calcular as probabilidades básicas envolvidas:
-
Como há 2 moedas honestas e 1 desonesta, a probabilidade de escolher uma moeda honesta é:
-
A probabilidade de escolher a moeda desonesta é:
Passo 4
Agora, vamos determinar a probabilidade de obter cara em cada caso:
-
Para uma moeda honesta, a probabilidade de dar cara é 50%, ou seja:
-
Já para a moeda desonesta, a probabilidade de dar cara é
:
Passo 5
Aplicando o Teorema de Bayes, temos:
Primeiro, precisamos calcular
, a probabilidade total de sair cara. Isso considera todas as maneiras de se obter cara:
Substituindo os valores:
Passo 6
Voltando à fórmula de Bayes:
Resposta
A probabilidade de que a moeda escolhida foi uma das honestas, dado que saiu cara, é igual a
.