Diga se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas. Em caso de ser verdadeira dê uma prova. Em caso de ser falsa, dê um contraexemplo. Se
é independente de
e
é independente de
, então
é independente de
.
Passo 1
Beleza, vamos analisar essa questão juntos! A pergunta é sobre independência de eventos na probabilidade. Precisamos verificar se, sendo
independente de
e
independente de
, isso garante que
seja independente da união dos eventos
. Para resolver, vamos usar conceitos de probabilidade e independência.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa dois eventos serem independentes. Dois eventos
e
são independentes se a ocorrência de um não afeta a probabilidade do outro. Matematicamente, isso é expresso por:
Passo 3
Agora, queremos saber se
é independente de
. Para isso, precisamos verificar se:
Vamos calcular cada parte dessa equação.
Passo 4
Primeiro, calculemos
. Usando a fórmula da união de dois eventos:
Passo 5
Agora, vamos calcular
. A interseção de
com
pode ser escrita como:
Como
e
são mutuamente exclusivos, isso simplifica para:
Passo 6
Sabemos que
é independente de
e
é independente de
. Então:
Mas para
, não temos informação direta sobre a independência de
e
.
Passo 7
Substituindo os valores na expressão de
:
E na expressão de
:
Passo 8
Para
ser independente de
, precisamos que:
Simplificando:
Isso implica que
não necessariamente é igual a
a menos que
ou
, o que nem sempre ocorre.
Passo 9
Isso mostra que, em geral, a independência de
com
e
com
não garante que
seja independente de
. Podemos construir um contraexemplo para ilustrar.
Passo 10
Contraexemplo:
Considere um espaço amostral com 4 resultados igualmente prováveis:
.
Definimos os eventos:
Vamos verificar as independências:
-
-
-
-
então , então e são independentes. -
então , então e são independentes. - Mas
-
então -
- Como
, e não são independentes.
Resposta
A afirmação é falsa. O contraexemplo apresentado demonstra que, mesmo
ser independente de
e
ser independente de
,
não necessariamente é independente de
.