Diga se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas. Em caso de ser verdadeira dê uma prova. Em caso de ser falsa, dê um contraexemplo. Se E é independente de F e F é independente de G, então E é independente de F ∪ G.

Passo 1

Beleza, vamos analisar essa questão juntos! A pergunta é sobre independência de eventos na probabilidade. Precisamos verificar se, sendo independente de e independente de , isso garante que seja independente da união dos eventos . Para resolver, vamos usar conceitos de probabilidade e independência.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa dois eventos serem independentes. Dois eventos e são independentes se a ocorrência de um não afeta a probabilidade do outro. Matematicamente, isso é expresso por:

Passo 3

Agora, queremos saber se é independente de . Para isso, precisamos verificar se:
Vamos calcular cada parte dessa equação.

Passo 4

Primeiro, calculemos . Usando a fórmula da união de dois eventos:

Passo 5

Agora, vamos calcular . A interseção de com pode ser escrita como:
Como e são mutuamente exclusivos, isso simplifica para:

Passo 6

Sabemos que é independente de e é independente de . Então:
Mas para , não temos informação direta sobre a independência de e .

Passo 7

Substituindo os valores na expressão de :
E na expressão de :

Passo 8

Para ser independente de , precisamos que:
Simplificando:
Isso implica que não necessariamente é igual a a menos que ou , o que nem sempre ocorre.

Passo 9

Isso mostra que, em geral, a independência de com e com não garante que seja independente de . Podemos construir um contraexemplo para ilustrar.

Passo 10

Contraexemplo:
Considere um espaço amostral com 4 resultados igualmente prováveis: .
Definimos os eventos:
Vamos verificar as independências:
  • então , então e são independentes.
  • então , então e são independentes.
  • Mas
  • então
  • Como , e não são independentes.

Resposta

A afirmação é falsa. O contraexemplo apresentado demonstra que, mesmo ser independente de e ser independente de , não necessariamente é independente de .

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