Diga se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique. Se , então ou .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente decidir se a afirmação "Se , então ou " é verdadeira ou falsa. Estamos trabalhando com álgebra básica, especificamente propriedades dos números reais e das matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa multiplicar dois números ou matrizes e quando o produto dá zero.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar nos números reais. Se multiplicarmos dois números e o resultado for zero, pelo que sabemos, pelo Princípio do Produto Nulo, isso só acontece se pelo menos um dos números for zero. Ou seja, se , então ou .
Passo 3
Agora, vamos considerar matrizes. Diferente dos números reais, a multiplicação de matrizes não segue sempre a mesma regra. É possível que o produto de duas matrizes seja a matriz nula mesmo que nenhuma das matrizes multiplicadas seja a matriz nula. Isso acontece porque a multiplicação de matrizes envolve combinações lineares das linhas e colunas, podendo resultar em cancelamentos que levam a zero.
Passo 4
Por exemplo, suponha duas matrizes e tais que e , mas . Isso mostra que, no caso de matrizes, a afirmação não é necessariamente verdadeira.
Resposta
A afirmação é verdadeira para números reais, pois se , então necessariamente ou . Porém, para matrizes, a afirmação é falsa, já que é possível que mesmo com e .