Reduza as matrizes à forma escalonada reduzida por linhas. Calcule seus postos e nulidades.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz e precisa transformá-la na forma escalonada reduzida por linhas. Isso faz parte da álgebra linear, onde trabalhamos com matrizes para resolver sistemas de equações. Além disso, vamos calcular o posto e a nulidade dessa matriz. Para isso, vamos precisar fazer operações nas linhas da matriz até chegar na forma desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz que vamos trabalhar:
Nosso objetivo é transformar essa matriz na forma escalonada reduzida por linhas usando operações elementares: trocar linhas, multiplicar uma linha por um número diferente de zero e adicionar múltiplos de uma linha a outra.

Passo 3

Vamos começar buscando um 1 na primeira coluna. Olhando a primeira linha, o primeiro elemento é 0, então vamos trocar a primeira linha com a segunda linha, que tem um 1 no início.

Passo 4

Agora, queremos zerar os elementos abaixo do 1 que está na primeira coluna. Para isso, vamos:
  • Subtrair 3 vezes a primeira linha da terceira linha.
  • Subtrair 2 vezes a primeira linha da quarta linha.
Fazendo isso:
Terceira linha:
Quarta linha:
A matriz fica assim:

Passo 5

Vamos focar na segunda coluna. Queremos que o elemento (2,2) seja 1. Para isso, vamos dividir a segunda linha por 2:
Resultado:

Passo 6

Agora, vamos zerar os outros elementos na segunda coluna usando a segunda linha:
  • Subtrair a segunda linha da primeira linha.
  • Subtrair a segunda linha da terceira linha.
  • Adicionar 5 vezes a segunda linha na quarta linha.
Fazendo isso:
Primeira linha:
Terceira linha:
Quarta linha:
A matriz fica assim:

Passo 7

Agora, vamos simplificar a terceira linha para que o elemento (3,3) seja 1. Para isso, vamos dividir a terceira linha por -12:
Resultado:

Passo 8

Por fim, vamos zerar os elementos acima do 1 na terceira coluna usando a terceira linha:
  • Subtrair 2 vezes a terceira linha da primeira linha.
  • Subtrair 1 vez a terceira linha da segunda linha.
Fazendo isso:
Primeira linha:
Segunda linha:
A matriz final na forma escalonada reduzida por linhas fica:

Resposta

A forma escalonada reduzida por linhas da matriz é:
O posto da matriz é 3 (já que há 3 linhas com pivôs) e a nulidade é 0 (número de colunas menos o posto, ou seja, ).

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