Reduza as matrizes à forma escalonada reduzida por linhas. Calcule seus postos e nulidades. [ccc0 & 2 & 2 1 & 1 & 3 3 & 4 & -2 2 & -3 & 1]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz e precisa transformá-la na forma escalonada reduzida por linhas. Isso faz parte da álgebra linear, onde trabalhamos com matrizes para resolver sistemas de equações. Além disso, vamos calcular o posto e a nulidade dessa matriz. Para isso, vamos precisar fazer operações nas linhas da matriz até chegar na forma desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz que vamos trabalhar:
0 & 2 & 2 1 & 1 & 3 3 & 4 & -2 2 & -3 & 1
Nosso objetivo é transformar essa matriz na forma escalonada reduzida por linhas usando operações elementares: trocar linhas, multiplicar uma linha por um número diferente de zero e adicionar múltiplos de uma linha a outra.

Passo 3

Vamos começar buscando um 1 na primeira coluna. Olhando a primeira linha, o primeiro elemento é 0, então vamos trocar a primeira linha com a segunda linha, que tem um 1 no início.
1 & 1 & 3 0 & 2 & 2 3 & 4 & -2 2 & -3 & 1

Passo 4

Agora, queremos zerar os elementos abaixo do 1 que está na primeira coluna. Para isso, vamos:
  • Subtrair 3 vezes a primeira linha da terceira linha.
  • Subtrair 2 vezes a primeira linha da quarta linha.
Fazendo isso:
Terceira linha: 3 - 3 times 1 = 0, 4 - 3 times 1 = 1, -2 - 3 times 3 = -11
2 - 2 times 1 = 0, -3 - 2 times 1 = -5, 1 - 2 times 3 = -5
Quarta linha: 1 & 1 & 3 0 & 2 & 2 0 & 1 & -11 0 & -5 & -5
A matriz fica assim:

Passo 5

Vamos focar na segunda coluna. Queremos que o elemento (2,2) seja 1. Para isso, vamos dividir a segunda linha por 2:
linha2 = 12 times linha2
Resultado:
1 & 1 & 3 0 & 1 & 1 0 & 1 & -11 0 & -5 & -5

Passo 6

Agora, vamos zerar os outros elementos na segunda coluna usando a segunda linha:
  • Subtrair a segunda linha da primeira linha.
  • Subtrair a segunda linha da terceira linha.
  • Adicionar 5 vezes a segunda linha na quarta linha.
Fazendo isso:
Primeira linha: 1 - 0 = 1, 1 - 1 = 0, 3 - 1 = 2
0 - 0 = 0, 1 - 1 = 0, -11 - 1 = -12
Terceira linha: 0 + 0 = 0, -5 + 5 times 1 = 0, -5 + 5 times 1 = 0
1 & 0 & 2 0 & 1 & 1 0 & 0 & -12 0 & 0 & 0
Quarta linha:
A matriz fica assim:

Passo 7

Agora, vamos simplificar a terceira linha para que o elemento (3,3) seja 1. Para isso, vamos dividir a terceira linha por -12:
linha3 = 1-12 times linha3
Resultado:
1 & 0 & 2 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0

Passo 8

Por fim, vamos zerar os elementos acima do 1 na terceira coluna usando a terceira linha:
  • Subtrair 2 vezes a terceira linha da primeira linha.
  • Subtrair 1 vez a terceira linha da segunda linha.
Fazendo isso:
Primeira linha: 1 - 0 = 1, 0 - 0 = 0, 2 - 2 times 1 = 0
0 - 0 = 0, 1 - 0 = 1, 1 - 1 times 1 = 0
Segunda linha: 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0
A matriz final na forma escalonada reduzida por linhas fica:

Resposta

A forma escalonada reduzida por linhas da matriz é:
1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0
O posto da matriz é 3 (já que há 3 linhas com pivôs) e a nulidade é 0 (número de colunas menos o posto, ou seja, ).

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