Reduza as matrizes à forma escalonada reduzida por linhas. Calcule seus postos e nulidades.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para reduzir a matriz dada à forma escalonada reduzida por linhas, ou seja, colocar a matriz de maneira organizada para facilitar a resolução de sistemas lineares. Além disso, precisamos calcular o posto (a quantidade de linhas não nulas) e a nulidade (dimensão do espaço nulo). Para isso, vamos usar operações elementares de linhas como troca, multiplicação e combinação linear.
A matriz que vamos trabalhar é:
Passo 2
Primeiro, nosso objetivo é ter um 1 na posição do primeiro pivô, que normalmente está na primeira linha e primeira coluna. No entanto, aqui o elemento (1,1) é 0. Então, vamos trocar a primeira linha pela segunda para trazer um número diferente de zero para essa posição.
Após a troca, a matriz fica assim:
Passo 3
Agora, vamos tornar o primeiro elemento da primeira linha igual a 1. Para isso, dividimos toda a primeira linha por 2.
Passo 4
Em seguida, queremos eliminar o 2 que está na posição (3,1). Para isso, vamos substituir a terceira linha pela terceira linha menos 2 vezes a primeira linha.
Passo 5
Agora, vamos eliminar o 2 na posição (3,2). Para isso, substituímos a terceira linha pela terceira linha menos 2 vezes a segunda linha.
Passo 6
Observamos que a terceira linha ficou toda zerada, o que indica que o sistema é compatível e tem infinitas soluções. Agora, a matriz está quase na forma escalonada reduzida por linhas. Vamos ajustar para que cada pivô seja o único número 1 em sua coluna.
Já temos pivôs nas posições (1,1) e (2,2). Agora, vamos eliminar o que está na posição (1,2). Para isso, substituímos a primeira linha pela primeira linha menos vezes a segunda linha.
Resposta
A forma escalonada reduzida por linhas da matriz é:
O posto da matriz é 2 (número de linhas não nulas) e a nulidade é 2 (dimensão do espaço nulo, já que a quantidade de variáveis menos o posto é ).