Reduza as matrizes à forma escalonada reduzida por linhas. Calcule seus postos e nulidades. [cccc0 & 1 & 3 & -2 2 & 1 & -4 & 3 2 & 3 & 2 & -1]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para reduzir a matriz dada à forma escalonada reduzida por linhas, ou seja, colocar a matriz de maneira organizada para facilitar a resolução de sistemas lineares. Além disso, precisamos calcular o posto (a quantidade de linhas não nulas) e a nulidade (dimensão do espaço nulo). Para isso, vamos usar operações elementares de linhas como troca, multiplicação e combinação linear.
A matriz que vamos trabalhar é:
0 & 1 & 3 & -2 2 & 1 & -4 & 3 2 & 3 & 2 & -1

Passo 2

Primeiro, nosso objetivo é ter um 1 na posição do primeiro pivô, que normalmente está na primeira linha e primeira coluna. No entanto, aqui o elemento (1,1) é 0. Então, vamos trocar a primeira linha pela segunda para trazer um número diferente de zero para essa posição.
Após a troca, a matriz fica assim:
2 & 1 & -4 & 3 0 & 1 & 3 & -2 2 & 3 & 2 & -1

Passo 3

Agora, vamos tornar o primeiro elemento da primeira linha igual a 1. Para isso, dividimos toda a primeira linha por 2.
1 & 12 & -2 & 32 0 & 1 & 3 & -2 2 & 3 & 2 & -1

Passo 4

Em seguida, queremos eliminar o 2 que está na posição (3,1). Para isso, vamos substituir a terceira linha pela terceira linha menos 2 vezes a primeira linha.
Linha 3 = Linha 3 - 2 times Linha 1
1 & 12 & -2 & 32 0 & 1 & 3 & -2 0 & 2 & 6 & -4

Passo 5

Agora, vamos eliminar o 2 na posição (3,2). Para isso, substituímos a terceira linha pela terceira linha menos 2 vezes a segunda linha.
Linha 3 = Linha 3 - 2 times Linha 2
1 & 12 & -2 & 32 0 & 1 & 3 & -2 0 & 0 & 0 & 0

Passo 6

Observamos que a terceira linha ficou toda zerada, o que indica que o sistema é compatível e tem infinitas soluções. Agora, a matriz está quase na forma escalonada reduzida por linhas. Vamos ajustar para que cada pivô seja o único número 1 em sua coluna.
Já temos pivôs nas posições (1,1) e (2,2). Agora, vamos eliminar o Linha 1 = Linha 1 - 12 times Linha 2 que está na posição (1,2). Para isso, substituímos a primeira linha pela primeira linha menos 1 & 0 & -72 & 2 0 & 1 & 3 & -2 0 & 0 & 0 & 0 vezes a segunda linha.

Resposta

A forma escalonada reduzida por linhas da matriz é:
1 & 0 & -72 & 2 0 & 1 & 3 & -2 0 & 0 & 0 & 0
O posto da matriz é 2 (número de linhas não nulas) e a nulidade é 2 (dimensão do espaço nulo, já que a quantidade de variáveis menos o posto é ).

Exercícios relacionados