Diga se as seguintes funções têm pontos críticos, e classifique-os em máximo local, mínimo local ou sela:
a)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função . O que a gente precisa fazer aqui é encontrar os pontos críticos dessa função e dizer se cada ponto é um máximo local, mínimo local ou um ponto de sela. Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo, especificamente derivadas, para encontrar esses pontos e classificá-los.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos ajuda a saber onde a inclinação da curva é zero ou indefinida, que são os possíveis pontos críticos.
A derivada de é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores de onde a derivada é igual a zero, ou seja, resolver a equação:
Dividindo os dois lados por 3:
Então, tirando a raiz quadrada:
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 4

Com o ponto crítico encontrado, precisamos classificar ele como máximo local, mínimo local ou ponto de sela. Para isso, vamos usar a segunda derivada da função, que nos dá informações sobre a concavidade da curva.
A segunda derivada de é:

Passo 5

Vamos avaliar a segunda derivada no ponto crítico :
Como a segunda derivada é zero, o teste da segunda derivada não é conclusivo. Então, precisamos analisar de outra forma.

Passo 6

Vamos analisar o comportamento da derivada primeira perto de :
  • Para , digamos :
  • Para , digamos :
A derivada é positiva tanto à esquerda quanto à direita de , o que significa que a função está aumentando de ambos os lados. Não há mudança de concavidade que indique um máximo ou mínimo local.

Resposta

A única função tem um ponto crítico em , que é um ponto de sela.

Exercícios relacionados

A reta tangente à curva no ponto tem coeficiente angular igual a:
(A) 10
(B) 20
© 15
(D) 12
(E) 5
é um polinômio de grau , tal que e . Sejam e o quociente da divisão de por .
b) Sabendo que o termo independente de é igual a 8 , determine o termo independente de .
Diga se as seguintes funções têm pontos críticos, e classifique-os em máximo local, mínimo local ou sela:
d)