Diga se as seguintes funções têm pontos críticos, e classifique-os em máximo local, mínimo local ou sela:
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
. O que a gente precisa fazer aqui é encontrar os pontos críticos dessa função e dizer se cada ponto é um máximo local, mínimo local ou um ponto de sela. Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo, especificamente derivadas, para encontrar esses pontos e classificá-los.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos ajuda a saber onde a inclinação da curva é zero ou indefinida, que são os possíveis pontos críticos.
A derivada de
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os valores de
onde a derivada é igual a zero, ou seja, resolver a equação:
Dividindo os dois lados por 3:
Então, tirando a raiz quadrada:
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 4
Com o ponto crítico encontrado, precisamos classificar ele como máximo local, mínimo local ou ponto de sela. Para isso, vamos usar a segunda derivada da função, que nos dá informações sobre a concavidade da curva.
A segunda derivada de
é:
Passo 5
Vamos avaliar a segunda derivada no ponto crítico
:
Como a segunda derivada é zero, o teste da segunda derivada não é conclusivo. Então, precisamos analisar de outra forma.
Passo 6
Vamos analisar o comportamento da derivada primeira perto de
:
- Para
, digamos :
- Para
, digamos :
A derivada é positiva tanto à esquerda quanto à direita de
, o que significa que a função está aumentando de ambos os lados. Não há mudança de concavidade que indique um máximo ou mínimo local.
Resposta
A única função
tem um ponto crítico em
, que é um ponto de sela.
Exercícios relacionados
A reta tangente à curva
no ponto
tem coeficiente angular igual a:
(A) 10
(B) 20
© 15
(D) 12
(E) 5
(A) 10
(B) 20
© 15
(D) 12
(E) 5
b) Sabendo que o termo independente de
Diga se as seguintes funções têm pontos críticos, e classifique-os em máximo local, mínimo local ou sela:
d)
d)