Diga se as seguintes funções têm pontos críticos, e classifique-os em máximo local, mínimo local ou sela:
e)
e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para identificar se a função
tem pontos críticos e classificá-los como máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas. Precisamos encontrar a derivada da função, identificar onde essa derivada é zero ou não existe (pontos críticos) e analisar o comportamento da função nesses pontos para classificá-los.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de
. A função é
. Para derivar essa função, vamos usar a regra do quociente, que diz que se temos
, então:
Aqui,
e
.
Passo 3
Vamos calcular
e
:
Agora, aplicando a regra do quociente:
Passo 4
Agora que temos a derivada
, vamos encontrar os pontos críticos. Pontos críticos ocorrem onde a derivada é zero ou não existe.
Primeiro, a derivada é zero quando o numerador é zero:
A derivada também não existe quando o denominador é zero, ou seja, quando
. Porém,
não está no domínio da função
pois
não está definido. Portanto, o único ponto crítico é
.
Passo 5
Agora precisamos classificar esse ponto crítico. Para isso, vamos analisar a segunda derivada ou observar o comportamento da primeira derivada ao redor de
.
Vamos calcular a segunda derivada
:
Primeiro, derivamos
:
Aplicando a regra do quociente novamente:
Agora, avaliamos
:
Resposta
A função
possui um ponto crítico em
. Esse ponto é um máximo local.
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Chama-se custo médio
de fabricação de um produto o custo de produção dividido pela quantidade produzida. Considere o custo de produção dado por:
À medida que se aumenta a quantidade de unidades produzidas, o custo médio tende para o valor de:
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(A)
(B)
©
(D)
(E)
Inverta a ordem de integração:
.
Calcule as derivadas das funções abaixo:
c)
c)
Determine a equação da reta que passa pelo ponto
e cujo coeficiente angular é -2 .