Diga se as seguintes funções têm pontos críticos, e classifique-os em máximo local, mínimo local ou sela:
e)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para identificar se a função tem pontos críticos e classificá-los como máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas. Precisamos encontrar a derivada da função, identificar onde essa derivada é zero ou não existe (pontos críticos) e analisar o comportamento da função nesses pontos para classificá-los.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de . A função é . Para derivar essa função, vamos usar a regra do quociente, que diz que se temos , então:
Aqui, e .

Passo 3

Vamos calcular e :
Agora, aplicando a regra do quociente:

Passo 4

Agora que temos a derivada , vamos encontrar os pontos críticos. Pontos críticos ocorrem onde a derivada é zero ou não existe.
Primeiro, a derivada é zero quando o numerador é zero:
A derivada também não existe quando o denominador é zero, ou seja, quando . Porém, não está no domínio da função pois não está definido. Portanto, o único ponto crítico é .

Passo 5

Agora precisamos classificar esse ponto crítico. Para isso, vamos analisar a segunda derivada ou observar o comportamento da primeira derivada ao redor de .
Vamos calcular a segunda derivada :
Primeiro, derivamos :
Aplicando a regra do quociente novamente:
Agora, avaliamos :

Resposta

A função possui um ponto crítico em . Esse ponto é um máximo local.

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Chama-se custo médio de fabricação de um produto o custo de produção dividido pela quantidade produzida. Considere o custo de produção dado por: À medida que se aumenta a quantidade de unidades produzidas, o custo médio tende para o valor de:
(A)
(B)
©
(D)
(E)
Inverta a ordem de integração: .
Calcule as derivadas das funções abaixo:
c)
Determine a equação da reta que passa pelo ponto e cujo coeficiente angular é -2 .