Diga se as seguintes funções têm pontos críticos, e classifique-os em máximo local, mínimo local ou sela:
b) f(x) = x^3 - 2 x^2

Passo 1

Então, a gente tem a função e precisa descobrir se ela tem pontos críticos. Isso faz parte do estudo de cálculo, especificamente de derivadas. Pra resolver, vamos precisar calcular a derivada da função e ver onde ela é igual a zero ou não existe.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos mostra a taxa de variação da função em cada ponto. Usamos as regras básicas de derivação:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Pontos críticos são onde a derivada é zero ou não existe. Aqui, nossa derivada é um polinômio, então ela existe para todo . Então, vamos resolver :
Isso nos dá duas soluções:
Portanto, os pontos críticos são e .

Passo 4

Agora, vamos classificar esses pontos críticos para saber se são máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela. Para isso, usamos a segunda derivada, que nos ajuda a entender a concavidade da função.
Primeiro, encontramos a segunda derivada:

Passo 5

Vamos avaliar a segunda derivada nos pontos críticos:
  1. Para :
Como , isso significa que a função é côncava para baixo nessa região, então é um máximo local.
  1. Para :
Como , a função é côncava para cima aqui, então é um mínimo local.

Resposta

A função tem dois pontos críticos:
  • é um máximo local.
  • é um mínimo local.

Exercícios relacionados