Diga se as seguintes funções têm pontos críticos, e classifique-os em máximo local, mínimo local ou sela:
b)
b)
Passo 1
Então, a gente tem a função
e precisa descobrir se ela tem pontos críticos. Isso faz parte do estudo de cálculo, especificamente de derivadas. Pra resolver, vamos precisar calcular a derivada da função e ver onde ela é igual a zero ou não existe.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos mostra a taxa de variação da função em cada ponto. Usamos as regras básicas de derivação:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Pontos críticos são onde a derivada é zero ou não existe. Aqui, nossa derivada
é um polinômio, então ela existe para todo
. Então, vamos resolver
:
Isso nos dá duas soluções:
Portanto, os pontos críticos são
e
.
Passo 4
Agora, vamos classificar esses pontos críticos para saber se são máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela. Para isso, usamos a segunda derivada, que nos ajuda a entender a concavidade da função.
Primeiro, encontramos a segunda derivada:
Passo 5
Vamos avaliar a segunda derivada nos pontos críticos:
- Para
:
Como
, isso significa que a função é côncava para baixo nessa região, então
é um máximo local.
- Para
:
Como
, a função é côncava para cima aqui, então
é um mínimo local.
Resposta
A função
tem dois pontos críticos:
-
é um máximo local. -
é um mínimo local.