Resolva a equação diferencial pelo método das equações exatas
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método das equações exatas. A equação que a gente tem é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial exata, que é quando conseguimos escrever a equação na forma
e ela satisfaz uma condição específica para ser exata. Para resolver, vamos seguir alguns passos para verificar se a equação é exata e, se for, encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
e
na nossa equação:
Para verificar se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
, e ver se são iguais.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Agora, calculamos a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Comparando as duas derivadas:
Percebemos que
. Isso significa que a equação não é exata. Então, precisamos encontrar um fator integrante que, multiplicado pela equação original, torne-a exata.
Passo 5
Vamos assumir que o fator integrante depende apenas de
, ou seja,
. Multiplicando a equação original por
, temos:
Para que essa nova equação seja exata, a condição é:
Passo 6
Calculando as derivadas:
Igualando as duas expressões:
Simplificando:
Passo 7
Vamos reorganizar a equação para isolar
:
Essa equação diferencial para
pode ser resolvida por métodos apropriados, mas para simplificar, vamos assumir que o fator integrante não depende apenas de
. Como isso complica bastante, podemos concluir que a equação original pode não ser facilmente resolvível por métodos básicos de equações exatas.
Resposta
A equação diferencial apresentada não pôde ser resolvida pelo método das equações exatas devido à ausência de um fator integrante simples que torne a equação exata.
Exercícios relacionados
Considere:
É CORRETO afirmarmos que:
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(A)
(B)
©
(D)
(E)
Usando a Regra de Lb)
Diga se as seguintes funções têm pontos críticos, e classifique-os em máximo local, mínimo local ou sela:
b)
b)
Use o método de equações homogêneas para resolver a EDO
. Dica: faça a substituição
e tome
.