(3 , 0 p t) Diga se a série converge ou diverge. Se convergir, calcule sua soma (com exceçâo do item c)). Se divergir, justifique:
sumn=1^infty 8(12)^n-1

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita representada por sumn=1^infty 8(12)^n-1. O conteúdo que vamos utilizar aqui é sobre séries geométricas. Precisamos determinar se essa série converge ou diverge. Se convergir, vamos calcular a sua soma.

Passo 2

Vamos identificar se essa série é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma geral sumn=0^infty ar^n, onde:
  • a é o primeiro termo da série.
  • r é a razão comum entre os termos consecutivos.
No nosso caso, a série é sumn=1^infty 8(12)^n-1. Podemos reescrever isso para se parecer com a forma geral:
sumn=1^infty 8(12)^n-1 = sumn=0^infty 8(12)^n
Aqui, o primeiro termo a é 8 e a razão r é 12.

Passo 3

Para determinar se a série converge ou diverge, usamos o critério da razão comum r. Se |r| < 1, a série geométrica converge e podemos calcular sua soma usando a fórmula:
S = a1 - r
Se |r| >= 1, a série diverge.

Passo 4

Vamos verificar o valor de r na nossa série:
r = 12
Como |12| = 0,5 < 1, a série converge.

Passo 5

Agora que sabemos que a série converge, vamos calcular a soma usando a fórmula:
S = a1 - r = 81 - 12 = 812 = 16

Resposta

A série sumn=1^infty 8(12)^n-1 converge e a sua soma é 16.

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