(3 , 0 p t) Diga se a série converge ou diverge. Se convergir, calcule sua soma (com exceçâo do item c)). Se divergir, justifique:
sumn=1^infty (-1)^n-1 34 n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente dizer se a série sumn=1^infty (-1)^n-1 34 n converge ou diverge. A matéria que vamos usar aqui é séries numéricas, especificamente séries alternadas. Para resolver isso, vamos precisar entender alguns testes de convergência, como o Teste da Série Alternada e o Teste da Série Absoluta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma série alternada. Uma série alternada é aquela em que os termos mudam de sinal, como é o caso aqui com (-1)^n-1. Isso significa que os termos são positivos e negativos alternadamente. O Teste da Série Alternada nos ajuda a verificar se esse tipo de série converge.

Passo 3

O Teste da Série Alternada diz que, para uma série da forma sumn=1^infty (-1)^n-1 bn, se os seguintes dois requisitos forem atendidos:
  1. Os termos bn são positivos.
  2. A sequência bn é decrescente e tende a zero conforme n cresce.
    Então, a série converge.

Passo 4

Vamos aplicar isso na nossa série: 34n. Aqui, bn = 34n. Primeiro, vemos que bn é positivo para todo n. Segundo, à medida que n aumenta, bn diminui e tende a zero. Portanto, nosso primeiro teste indica que a série converge.

Passo 5

Para ter certeza se a série converge absolutamente ou condicionalmente, vamos fazer o Teste da Série Absoluta. Isso significa que devemos olhar para a série dos valores absolutos: sumn=1^infty | (-1)^n-1 34 n | = sumn=1^infty 34n.

Passo 6

A série sumn=1^infty 34n é uma série harmônica multiplicada por uma constante, que sabemos que diverge. Isso significa que a série original não converge absolutamente, mas como já vimos que ela passa no Teste da Série Alternada, ela converge condicionalmente.

Resposta

A série sumn=1^infty (-1)^n-1 34 n converge condicionalmente, pois passa no Teste da Série Alternada, mas a série dos valores absolutos diverge.

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