Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, calcule o limite. Se divergir, justifique:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o problema está pedindo. Temos uma sequência definida por
. A questão quer saber se essa sequência converge (ou seja, se ela se aproxima de algum número à medida que
cresce) ou diverge (não se aproxima de nenhum número específico). Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre limites de sequências e como trabalhar com exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da sequência para facilitar a análise. Observe que:
Aqui, separamos o
em
e
, e então reescrevemos a expressão.
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento de
conforme
cresce. O valor
é maior que 1. Sabemos que, para uma base maior que 1 elevada a
que vai para o infinito, o resultado também vai para o infinito. Isso significa que:
Passo 4
Multiplicando esse resultado por
, temos:
Isso nos mostra que a sequência não está se aproximando de nenhum número finito, mas sim crescendo sem limite.
Resposta
A sequência
diverge, pois tende ao infinito à medida que
aumenta.
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