A dimensão de cada peça um determinado porcelanato fabricado por certa indústria é normal com média 60 cm e desvio padrão . A especificação diz que o comprimento de cada peça deve estar entre e . Para um determinado cliente, a indústria vende um lote desse porcelanato a por metro quadrado se uma peça retirada ao acaso do lote tiver dentro das especificações e a R caso ela não esteja dentro das especificações. Qual o preço médio de venda desse porcelanato para esse cliente?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre as dimensões das peças de um porcelanato que são distribuídas normalmente com média de 60 cm e desvio padrão de 0,05 cm. A especificação do cliente exige que cada peça tenha entre 59,9 cm e 60,1 cm. Dependendo de uma peça estar dentro ou fora dessa especificação, o preço por metro quadrado muda para R$ 70,00 ou R$ 50,00, respectivamente. Nosso objetivo é descobrir qual é o preço médio que o cliente vai pagar por esse porcelanato.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que as dimensões das peças seguem uma distribuição normal. Isso significa que a maioria das peças estará perto da média (60 cm), e poucas estarão muito longe dela. Para resolver o problema, vamos calcular a probabilidade de uma peça estar dentro das especificações (entre 59,9 cm e 60,1 cm) e a probabilidade de estar fora desse intervalo.

Passo 3

Vamos calcular os escores z, que nos ajudam a encontrar essas probabilidades na tabela da distribuição normal padrão. A fórmula para o escore z é:
Onde:
  • é o valor que estamos analisando (59,9 cm e 60,1 cm)
  • é a média (60 cm)
  • é o desvio padrão (0,05 cm)
Primeiro, para 59,9 cm:
E para 60,1 cm:

Passo 4

Agora, vamos usar a tabela da distribuição normal padrão para encontrar as probabilidades correspondentes a esses escores z.
A probabilidade de é aproximadamente 0,9772, e a probabilidade de é aproximadamente 0,0228.
Para encontrar a probabilidade de uma peça estar entre 59,9 cm e 60,1 cm, subtraímos essas duas probabilidades:
Então, há cerca de 95,44% de chance de uma peça estar dentro das especificações.
A probabilidade de uma peça não estar dentro das especificações é:

Passo 5

Agora, vamos calcular o preço médio que o cliente vai pagar. Para isso, multiplicamos cada preço pela sua respectiva probabilidade e somamos os resultados:
çé
Calculando:
çé

Resposta

O preço médio de venda desse porcelanato para o cliente é aproximadamente R$ 69,09 por metro quadrado.

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Seja uma variável aleatória, tal que . Determine usando o Commander:
a.
Seja uma variável aleatória, tal que . Determine:
e.
Seja uma variável aleatória, tal que . Determine tal que:
b.