Seja X uma variável aleatória, tal que X ~ N(100, 25). Determine k tal que:
b. P(X < k) = 0,3

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que tem aqui: a gente tem uma variável aleatória que segue uma distribuição normal com média 100 e variância 25, ou seja, . O que a gente precisa descobrir é qual valor de deixa a probabilidade de ser menor que igual a 0,3, ou seja:
Para resolver isso, vamos usar as propriedades da distribuição normal e a técnica de padronização.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os parâmetros da nossa distribuição normal. Sabemos que a média ( ) é 100 e a variância ( ) é 25. O desvio padrão ( ) é a raiz quadrada da variância, então:
Então, temos .

Passo 3

Agora, queremos encontrar o valor de tal que:
Isso significa que é o percentil 30 dessa distribuição normal.

Passo 4

Para achar esse valor, vamos padronizar a variável . A padronização transforma em uma variável que segue uma distribuição normal padrão ( , ):
Queremos encontrar o correspondente a .

Passo 5

Consultando uma tabela da distribuição normal padrão ou usando uma calculadora, encontramos que o valor de que satisfaz é aproximadamente:
Isso significa que está 0,5244 desvios padrões abaixo da média.

Passo 6

Agora, voltamos à escala original para encontrar usando a fórmula da padronização inversa:
Então, arredondando, temos .

Resposta

O valor de é aproximadamente 97,38.

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