Em que direção um bote no ponto
deve navegar para que a profundidade da água decresça mais rapidamente? Em que direção a profundidade permanece a mesma?
A superfície de um lago é representada por uma região
do plano
de modo que a profundidade (medida em metros) sob o ponto
é
.
A superfície de um lago é representada por uma região
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre a profundidade da água em um lago, que é dada pela função
. A gente precisa descobrir duas coisas para o bote que está no ponto
:
- Direção em que a profundidade da água diminui mais rapidamente.
- Direção em que a profundidade da água permanece a mesma.
Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de cálculo multivariável, especificamente o gradiente da função. O gradiente vai nos ajudar a entender como a profundidade muda em diferentes direções.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é como uma “seta” que aponta na direção de maior aumento da função. Ele é composto pelas derivadas parciais da função em relação a
e
.
Então, temos:
Calculando as derivadas:
Portanto:
Passo 3
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Essa “seta”
aponta na direção de maior aumento da profundidade. Mas a gente quer a direção em que a profundidade diminui mais rapidamente. Para isso, basta inverter a direção do gradiente:
Passo 4
Agora, para encontrar a direção em que a profundidade permanece a mesma, precisamos encontrar uma direção que seja perpendicular ao gradiente. Isso porque, ao se mover nessa direção, a profundidade não muda.
Uma direção perpendicular a
pode ser, por exemplo,
ou
.
Resposta
No ponto
:
- Direção em que a profundidade da água diminui mais rapidamente: na direção do vetor
. - Direção em que a profundidade permanece a mesma: na direção do vetor
ou .
Exercícios relacionados
Estude a diferenciabilidade da função
no ponto
indicado:
em
;
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no ponto
indicado:
.
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no ponto
indicado:
em
Resolva os seguintes problemas:
Determine, entre os triângulos de mesmo perímetro, o de área mínima.
Determine, entre os triângulos de mesmo perímetro, o de área mínima.