Em que direção um bote no ponto deve navegar para que a profundidade da água decresça mais rapidamente? Em que direção a profundidade permanece a mesma?
A superfície de um lago é representada por uma região do plano de modo que a profundidade (medida em metros) sob o ponto é .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre a profundidade da água em um lago, que é dada pela função . A gente precisa descobrir duas coisas para o bote que está no ponto :
  1. Direção em que a profundidade da água diminui mais rapidamente.
  2. Direção em que a profundidade da água permanece a mesma.
Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de cálculo multivariável, especificamente o gradiente da função. O gradiente vai nos ajudar a entender como a profundidade muda em diferentes direções.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é como uma “seta” que aponta na direção de maior aumento da função. Ele é composto pelas derivadas parciais da função em relação a e .
Então, temos:
Calculando as derivadas:
Portanto:

Passo 3

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :
Essa “seta” aponta na direção de maior aumento da profundidade. Mas a gente quer a direção em que a profundidade diminui mais rapidamente. Para isso, basta inverter a direção do gradiente:
çãé

Passo 4

Agora, para encontrar a direção em que a profundidade permanece a mesma, precisamos encontrar uma direção que seja perpendicular ao gradiente. Isso porque, ao se mover nessa direção, a profundidade não muda.
Uma direção perpendicular a pode ser, por exemplo, ou .

Resposta

No ponto :
  1. Direção em que a profundidade da água diminui mais rapidamente: na direção do vetor .
  2. Direção em que a profundidade permanece a mesma: na direção do vetor ou .

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em ;
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.
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