Estude a diferenciabilidade da função no ponto indicado:
.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função e precisamos verificar se ela é diferenciável no ponto . Para isso, vamos precisar conhecer o conceito de diferenciabilidade de funções de duas variáveis e calcular as derivadas parciais da função nesse ponto.

Passo 2

Vamos começar calculando as derivadas parciais de em relação a e . As derivadas parciais nos mostram como a função muda quando mudamos uma variável enquanto mantemos a outra constante.

Passo 3

Primeiro, calculamos a derivada parcial em relação a :
Em seguida, calculamos a derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto :
Ambas as expressões resultam em uma indeterminação , o que significa que as derivadas parciais não estão definidas em .

Passo 5

A ausência de derivadas parciais definidas em um ponto impede que a função seja diferenciável nesse ponto. Para uma função ser diferenciável, ela deve ter derivadas parciais existentes e contínuas no ponto considerado.

Resposta

A função não é diferenciável no ponto .

Exercícios relacionados

Estude a diferenciabilidade da função no ponto indicado:
;
Estude a diferenciabilidade da função no ponto indicado:
em ;
Estude a diferenciabilidade da função no ponto indicado:
em ;
Em que direção um bote no ponto deve navegar para que a profundidade da água decresça mais rapidamente? Em que direção a profundidade permanece a mesma?
A superfície de um lago é representada por uma região do plano de modo que a profundidade (medida em metros) sob o ponto é .