Estude a diferenciabilidade da função no ponto indicado: .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função e precisamos verificar se ela é diferenciável no ponto . Para isso, vamos precisar conhecer o conceito de diferenciabilidade de funções de duas variáveis e calcular as derivadas parciais da função nesse ponto.
Passo 2
Vamos começar calculando as derivadas parciais de em relação a e . As derivadas parciais nos mostram como a função muda quando mudamos uma variável enquanto mantemos a outra constante.
Passo 3
Primeiro, calculamos a derivada parcial em relação a :
Em seguida, calculamos a derivada parcial em relação a :
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto :
Ambas as expressões resultam em uma indeterminação , o que significa que as derivadas parciais não estão definidas em .
Passo 5
A ausência de derivadas parciais definidas em um ponto impede que a função seja diferenciável nesse ponto. Para uma função ser diferenciável, ela deve ter derivadas parciais existentes e contínuas no ponto considerado.