Estude a diferenciabilidade da função z = f(x, y) no ponto P indicado:
z = raiz(x^2 + y^2) em P(0,0).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função e precisamos verificar se ela é diferenciável no ponto . Para isso, vamos precisar conhecer o conceito de diferenciabilidade de funções de duas variáveis e calcular as derivadas parciais da função nesse ponto.

Passo 2

Vamos começar calculando as derivadas parciais de em relação a e . As derivadas parciais nos mostram como a função muda quando mudamos uma variável enquanto mantemos a outra constante.

Passo 3

Primeiro, calculamos a derivada parcial em relação a :
Em seguida, calculamos a derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto :
Ambas as expressões resultam em uma indeterminação , o que significa que as derivadas parciais não estão definidas em .

Passo 5

A ausência de derivadas parciais definidas em um ponto impede que a função seja diferenciável nesse ponto. Para uma função ser diferenciável, ela deve ter derivadas parciais existentes e contínuas no ponto considerado.

Resposta

A função não é diferenciável no ponto .

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