Estude a diferenciabilidade da função
no ponto
indicado:
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função
e precisamos verificar se ela é diferenciável no ponto
. Para isso, vamos precisar conhecer o conceito de diferenciabilidade de funções de duas variáveis e calcular as derivadas parciais da função nesse ponto.
Passo 2
Vamos começar calculando as derivadas parciais de
em relação a
e
. As derivadas parciais nos mostram como a função muda quando mudamos uma variável enquanto mantemos a outra constante.
Passo 3
Primeiro, calculamos a derivada parcial em relação a
:
Em seguida, calculamos a derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto
:
Ambas as expressões resultam em uma indeterminação
, o que significa que as derivadas parciais não estão definidas em
.
Passo 5
A ausência de derivadas parciais definidas em um ponto impede que a função seja diferenciável nesse ponto. Para uma função ser diferenciável, ela deve ter derivadas parciais existentes e contínuas no ponto considerado.
Resposta
A função
não é diferenciável no ponto
.