Estude a diferenciabilidade da função no ponto indicado:
em

Passo 1

Beleza! O exercício pede para a gente analisar se a função é diferenciável no ponto . Vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e o critério de diferenciabilidade. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos checar se as derivadas parciais de existem no ponto . As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando a gente varia ou isoladamente.

Passo 3

Calculando a derivada parcial em relação a no ponto :
Então, .

Passo 4

Agora, calculando a derivada parcial em relação a no ponto :
Então, .

Passo 5

Terderivadas parciais existentes é um bom começo, mas não garante que a função seja diferenciável. Para verificar a diferenciabilidade, precisamos ver se a função pode ser bem aproximada por uma função linear perto de . Isso significa que o limite:
deve ser igual a zero.

Passo 6

Substituindo os valores que já sabemos:
Precisamos analisar esse limite.

Passo 7

Vamos testar o limite ao longo de diferentes caminhos para ver se ele depende da direção que a gente se aproxima de .
Primeiro, se :
Esse limite é .

Passo 8

Agora, se escolhermos :
Esse limite é .

Passo 9

Os limites ao longo de caminhos diferentes não são iguais ( e ), o que significa que o limite geral não existe ou não é zero.

Resposta

Como o limite não é igual a zero, a função não é diferenciável no ponto .

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em ;
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