Estude a diferenciabilidade da função
no ponto
indicado:
em
Passo 1
Beleza! O exercício pede para a gente analisar se a função
é diferenciável no ponto
. Vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e o critério de diferenciabilidade. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos checar se as derivadas parciais de
existem no ponto
. As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando a gente varia
ou
isoladamente.
Passo 3
Calculando a derivada parcial em relação a
no ponto
:
Então,
.
Passo 4
Agora, calculando a derivada parcial em relação a
no ponto
:
Então,
.
Passo 5
Terderivadas parciais existentes é um bom começo, mas não garante que a função seja diferenciável. Para verificar a diferenciabilidade, precisamos ver se a função pode ser bem aproximada por uma função linear perto de
. Isso significa que o limite:
deve ser igual a zero.
Passo 6
Substituindo os valores que já sabemos:
Precisamos analisar esse limite.
Passo 7
Vamos testar o limite ao longo de diferentes caminhos para ver se ele depende da direção que a gente se aproxima de
.
Primeiro, se
:
Esse limite é
.
Passo 8
Agora, se escolhermos
:
Esse limite é
.
Passo 9
Os limites ao longo de caminhos diferentes não são iguais (
e
), o que significa que o limite geral não existe ou não é zero.
Resposta
Como o limite não é igual a zero, a função
não é diferenciável no ponto
.
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é
.
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Estude a diferenciabilidade da função
no ponto
indicado:
em
;
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