Resolva os seguintes problemas:
Determine, entre os triângulos de mesmo perímetro, o de área mínima.

Passo 1

Beleza, então temos um problema de geometria onde queremos descobrir qual triângulo, entre todos que têm o mesmo perímetro, possui a área mais pequena. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de geometria básica e a fórmula de Herão para calcular a área dos triângulos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do perímetro. O perímetro de um triângulo é a soma dos comprimentos de seus lados:
onde , e são os lados do triângulo.

Passo 3

Agora, para calcular a área de um triângulo com lados conhecidos, usamos a fórmula de Herão. Primeiro, calculamos o semiperímetro :
E a área é dada por:

Passo 4

Queremos minimizar a área para triângulos com um perímetro fixo . Observando a fórmula de Herão, percebemos que a área depende do produto . Para minimizar , precisamos minimizar esse produto.

Passo 5

Analisando o produto , percebemos que ele atinge seu mínimo quando um dos lados é quase igual a , fazendo com que os outros dois lados sejam muito pequenos. Nesse caso, o triângulo se aproxima de um triângulo degenerado, onde a área tende a zero.

Resposta

Entre os triângulos com o mesmo perímetro, o de área mínima é o triângulo degenerado, cuja área é 0.

Exercícios relacionados

Estude a diferenciabilidade da função no ponto indicado:
em
Em que direção um bote no ponto deve navegar para que a profundidade da água decresça mais rapidamente? Em que direção a profundidade permanece a mesma?
A superfície de um lago é representada por uma região do plano de modo que a profundidade (medida em metros) sob o ponto é .
Resolva as equações em IR:
Determine o conjunto-solução das equações: