Resolva os seguintes problemas:
Determine, entre os triângulos de mesmo perímetro, o de área mínima.
Determine, entre os triângulos de mesmo perímetro, o de área mínima.
Passo 1
Beleza, então temos um problema de geometria onde queremos descobrir qual triângulo, entre todos que têm o mesmo perímetro, possui a área mais pequena. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de geometria básica e a fórmula de Herão para calcular a área dos triângulos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do perímetro. O perímetro
de um triângulo é a soma dos comprimentos de seus lados:
onde
,
e
são os lados do triângulo.
Passo 3
Agora, para calcular a área de um triângulo com lados conhecidos, usamos a fórmula de Herão. Primeiro, calculamos o semiperímetro
:
E a área
é dada por:
Passo 4
Queremos minimizar a área
para triângulos com um perímetro fixo
. Observando a fórmula de Herão, percebemos que a área depende do produto
. Para minimizar
, precisamos minimizar esse produto.
Passo 5
Analisando o produto
, percebemos que ele atinge seu mínimo quando um dos lados é quase igual a
, fazendo com que os outros dois lados sejam muito pequenos. Nesse caso, o triângulo se aproxima de um triângulo degenerado, onde a área tende a zero.
Resposta
Entre os triângulos com o mesmo perímetro, o de área mínima é o triângulo degenerado, cuja área é 0.
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.
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