Estude a diferenciabilidade da função no ponto indicado: em ;
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que foi pedido! Precisamos estudar se a função é diferenciável no ponto . Isso faz parte do conteúdo de cálculo multivariável, especificamente sobre diferenciabilidade de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável e calcular as derivadas parciais no ponto em questão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é diferenciabilidade. Uma função é diferenciável em um ponto se ela pode ser aproximada por um plano tangente naquele ponto. Para funções de duas variáveis, isso geralmente significa que as derivadas parciais existem e são contínuas no ponto.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .
Derivada parcial em relação a :
No ponto :
Derivada parcial em relação a :
Onde é a função sinal, que vale 1 para , -1 para e 0 para .
No ponto , vemos que:
Aqui, temos um problema porque não está definido (pode ser considerado infinito), e . Isso sugere que a derivada parcial em relação a não está bem definida no ponto .
Passo 4
Como a derivada parcial em relação a não está bem definida no ponto , isso indica que a função não tem derivadas parciais contínuas nesse ponto. Lembrando que para a diferenciabilidade, não basta apenas que as derivadas existam, mas também que sejam contínuas.
Resposta
A função não é diferenciável no ponto porque a derivada parcial em relação a não está bem definida naquele ponto.