Estude a diferenciabilidade da função no ponto indicado:
em ;

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que foi pedido! Precisamos estudar se a função é diferenciável no ponto . Isso faz parte do conteúdo de cálculo multivariável, especificamente sobre diferenciabilidade de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável e calcular as derivadas parciais no ponto em questão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é diferenciabilidade. Uma função é diferenciável em um ponto se ela pode ser aproximada por um plano tangente naquele ponto. Para funções de duas variáveis, isso geralmente significa que as derivadas parciais existem e são contínuas no ponto.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .
Derivada parcial em relação a :
No ponto :
Derivada parcial em relação a :
Onde é a função sinal, que vale 1 para , -1 para e 0 para .
No ponto , vemos que:
Aqui, temos um problema porque não está definido (pode ser considerado infinito), e . Isso sugere que a derivada parcial em relação a não está bem definida no ponto .

Passo 4

Como a derivada parcial em relação a não está bem definida no ponto , isso indica que a função não tem derivadas parciais contínuas nesse ponto. Lembrando que para a diferenciabilidade, não basta apenas que as derivadas existam, mas também que sejam contínuas.

Resposta

A função não é diferenciável no ponto porque a derivada parcial em relação a não está bem definida naquele ponto.

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Estude a diferenciabilidade da função no ponto indicado:
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Estude a diferenciabilidade da função no ponto indicado:
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Em que direção um bote no ponto deve navegar para que a profundidade da água decresça mais rapidamente? Em que direção a profundidade permanece a mesma?
A superfície de um lago é representada por uma região do plano de modo que a profundidade (medida em metros) sob o ponto é .
Estude a diferenciabilidade da função no ponto indicado:
em