Estude a diferenciabilidade da função
no ponto
indicado:
em
;
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que foi pedido! Precisamos estudar se a função
é diferenciável no ponto
. Isso faz parte do conteúdo de cálculo multivariável, especificamente sobre diferenciabilidade de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável e calcular as derivadas parciais no ponto em questão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é diferenciabilidade. Uma função é diferenciável em um ponto se ela pode ser aproximada por um plano tangente naquele ponto. Para funções de duas variáveis, isso geralmente significa que as derivadas parciais existem e são contínuas no ponto.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Derivada parcial em relação a
:
No ponto
:
Derivada parcial em relação a
:
Onde
é a função sinal, que vale 1 para
, -1 para
e 0 para
.
No ponto
, vemos que:
Aqui, temos um problema porque
não está definido (pode ser considerado infinito), e
. Isso sugere que a derivada parcial em relação a
não está bem definida no ponto
.
Passo 4
Como a derivada parcial em relação a
não está bem definida no ponto
, isso indica que a função
não tem derivadas parciais contínuas nesse ponto. Lembrando que para a diferenciabilidade, não basta apenas que as derivadas existam, mas também que sejam contínuas.
Resposta
A função
não é diferenciável no ponto
porque a derivada parcial em relação a
não está bem definida naquele ponto.