Em que direção a derivada de
em
é igual a zero?
Passo 1
Vamos dar uma olhada no problema: queremos descobrir em que direção a derivada da função
no ponto
é igual a zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente a derivada direcional e o gradiente da função.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação às suas variáveis. Ele indica a direção de maior aumento da função.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Portanto, o gradiente de
é:
Passo 4
Agora, vamos calcular o gradiente no ponto
:
Passo 5
A derivada direcional de
na direção de um vetor unitário
é dada por:
Queremos que essa derivada seja zero, então:
Passo 6
Para encontrar a direção
, podemos resolver a equação
. Isso significa que:
Como
é um vetor unitário, temos também que:
Passo 7
Substituindo
na equação da normalização:
Passo 8
Agora, calculamos
:
ou
Passo 9
Portanto, as direções em que a derivada de
é zero são:
Resposta
As direções são
e
.
Exercícios relacionados
Prove que se
for homogênea de grau
, então
é homogênea de grau
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
I - se
é convergente, então
;
II - se , então
é convergente;
III - é convergente se, e somente se,
é convergente para todo
.
A(s) afirmativa(s) verdadeira(s) é(são):
(a) apenas .
(d) apenas .
(b) apenas e
.
© e
.
(e) apenas e
.
II - se
III -
A(s) afirmativa(s) verdadeira(s) é(são):
(a) apenas
(d) apenas
(b) apenas
©
(e) apenas
Uma função diferenciável
tem, no ponto
, derivada direcional igual a 3 na direção
e igual a -1 na direção
. Calcule
(b) em que
é o versor de
.
(b)