Em que direção a derivada de em é igual a zero?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no problema: queremos descobrir em que direção a derivada da função no ponto é igual a zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente a derivada direcional e o gradiente da função.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação às suas variáveis. Ele indica a direção de maior aumento da função.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
Portanto, o gradiente de é:

Passo 4

Agora, vamos calcular o gradiente no ponto :

Passo 5

A derivada direcional de na direção de um vetor unitário é dada por:
Queremos que essa derivada seja zero, então:

Passo 6

Para encontrar a direção , podemos resolver a equação . Isso significa que:
Como é um vetor unitário, temos também que:

Passo 7

Substituindo na equação da normalização:

Passo 8

Agora, calculamos :
ou

Passo 9

Portanto, as direções em que a derivada de é zero são:

Resposta

As direções são e .

Exercícios relacionados

Prove que se for homogênea de grau , então é homogênea de grau .
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
I - se é convergente, então ;
II - se , então é convergente;
III - é convergente se, e somente se, é convergente para todo .
A(s) afirmativa(s) verdadeira(s) é(são):
(a) apenas .
(d) apenas .
(b) apenas e .
© e .
(e) apenas e .
Uma função diferenciável tem, no ponto , derivada direcional igual a 3 na direção e igual a -1 na direção . Calcule
(b) em que é o versor de .