Em que direção a derivada de f(x, y) = x*y + y^2 + 3 em P = (3, 2) é igual a zero?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no problema: queremos descobrir em que direção a derivada da função no ponto é igual a zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente a derivada direcional e o gradiente da função.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação às suas variáveis. Ele indica a direção de maior aumento da função.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
Portanto, o gradiente de é:

Passo 4

Agora, vamos calcular o gradiente no ponto :

Passo 5

A derivada direcional de na direção de um vetor unitário é dada por:
Queremos que essa derivada seja zero, então:

Passo 6

Para encontrar a direção , podemos resolver a equação . Isso significa que:
Como é um vetor unitário, temos também que:

Passo 7

Substituindo na equação da normalização:

Passo 8

Agora, calculamos :
ou

Passo 9

Portanto, as direções em que a derivada de é zero são:

Resposta

As direções são e .

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