Uma função diferenciável tem, no ponto , derivada direcional igual a 3 na direção e igual a -1 na direção . Calcule
(b) em que é o versor de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de derivadas direcionais! O enunciado pede para calcular a derivada direcional de uma função no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos usar o conceito de derivada direcional, que envolve o gradiente da função e os vetores de direção fornecidos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de na direção de um vetor é dada por:
Aqui, é o gradiente da função, que é um vetor composto pelas derivadas parciais de em relação a e . Ou seja:

Passo 3

No ponto , temos duas informações sobre derivadas direcionais:
Vamos chamar as derivadas parciais no ponto de e . Assim, podemos escrever as equações:

Passo 4

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas ( e ). Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de e .
Primeiro, multiplicamos a primeira equação por 4 e a segunda por 3 para facilitar a eliminação:
Subtraindo a segunda equação da primeira:

Passo 5

Agora que temos , substituímos esse valor na primeira equação original para encontrar :

Passo 6

Agora que temos e , podemos calcular a derivada direcional na direção de . Primeiro, precisamos transformar em um versor (vetor unitário):

Passo 7

Agora, aplicamos a fórmula da derivada direcional:

Resposta

A derivada direcional na direção de é .

Exercícios relacionados

I - se é convergente, então ;
II - se , então é convergente;
III - é convergente se, e somente se, é convergente para todo .
A(s) afirmativa(s) verdadeira(s) é(são):
(a) apenas .
(d) apenas .
(b) apenas e .
© e .
(e) apenas e .
Em que direção a derivada de em é igual a zero?
(a)
(b)
©
(d)
(e)