Uma função diferenciável
tem, no ponto
, derivada direcional igual a 3 na direção
e igual a -1 na direção
. Calcule
(b)
em que
é o versor de
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de derivadas direcionais! O enunciado pede para calcular a derivada direcional de uma função
no ponto
na direção do vetor
. Para isso, vamos usar o conceito de derivada direcional, que envolve o gradiente da função e os vetores de direção fornecidos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de
na direção de um vetor
é dada por:
Aqui,
é o gradiente da função, que é um vetor composto pelas derivadas parciais de
em relação a
e
. Ou seja:
Passo 3
No ponto
, temos duas informações sobre derivadas direcionais:
Vamos chamar as derivadas parciais no ponto
de
e
. Assim, podemos escrever as equações:
Passo 4
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas (
e
). Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de
e
.
Primeiro, multiplicamos a primeira equação por 4 e a segunda por 3 para facilitar a eliminação:
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Passo 5
Agora que temos
, substituímos esse valor na primeira equação original para encontrar
:
Passo 6
Agora que temos
e
, podemos calcular a derivada direcional na direção de
. Primeiro, precisamos transformar
em um versor (vetor unitário):
Passo 7
Agora, aplicamos a fórmula da derivada direcional:
Resposta
A derivada direcional
na direção de
é
.