Uma função diferenciável f(x, y) tem, no ponto 1,1, derivada direcional igual a 3 na direção 3i + 4j e igual a -1 na direção 4 * i - 3 * j. Calcule
(b) D_u f(1,1) em que u é o versor de i + j.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de derivadas direcionais! O enunciado pede para calcular a derivada direcional de uma função no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos usar o conceito de derivada direcional, que envolve o gradiente da função e os vetores de direção fornecidos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de na direção de um vetor é dada por:
Aqui, é o gradiente da função, que é um vetor composto pelas derivadas parciais de em relação a e . Ou seja:

Passo 3

No ponto , temos duas informações sobre derivadas direcionais:
Vamos chamar as derivadas parciais no ponto de e . Assim, podemos escrever as equações:

Passo 4

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas ( e ). Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de e .
Primeiro, multiplicamos a primeira equação por 4 e a segunda por 3 para facilitar a eliminação:
Subtraindo a segunda equação da primeira:

Passo 5

Agora que temos , substituímos esse valor na primeira equação original para encontrar :

Passo 6

Agora que temos e , podemos calcular a derivada direcional na direção de . Primeiro, precisamos transformar em um versor (vetor unitário):

Passo 7

Agora, aplicamos a fórmula da derivada direcional:

Resposta

A derivada direcional na direção de é .

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