Prove que se for homogênea de grau , então é homogênea de grau .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que se a função é homogênea de grau , então a sua derivada parcial em relação a , que é , também é homogênea, mas de grau .
Matéria envolvida: Funções homogêneas e derivadas parciais.
O que vamos precisar: Vamos usar a definição de função homogênea e propriedades das derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser homogênea de grau . Uma função é homogênea de grau se, ao multiplicarmos todas as suas variáveis por um escalar , a função resulta em vezes ela própria. Em fórmula:

Passo 3

Agora, queremos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Para isso, vamos derivar ambos os lados da equação de homogeneidade em relação a .
Primeiro, escrevemos a equação de homogeneidade:

Passo 4

Vamos derivar ambos os lados em relação a . Usamos a regra da cadeia para o lado esquerdo:
No lado direito, a derivada de em relação a é:

Passo 5

Igualando as duas expressões derivadas:
Dividimos ambos os lados por (assumindo ):

Passo 6

O resultado mostra que:
Isso significa que a derivada parcial é homogênea de grau .

Resposta

A derivada parcial é uma função homogênea de grau .

Exercícios relacionados

(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(a) Encontre a série de potências para a derivada e o raio de convergência.
(b) Integre termo a termo a série do item (a) para calcular a soma da série .
Em que direção a derivada de em é igual a zero?
I - se é convergente, então ;
II - se , então é convergente;
III - é convergente se, e somente se, é convergente para todo .
A(s) afirmativa(s) verdadeira(s) é(são):
(a) apenas .
(d) apenas .
(b) apenas e .
© e .
(e) apenas e .