Prove que se
for homogênea de grau
, então
é homogênea de grau
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que se a função
é homogênea de grau
, então a sua derivada parcial em relação a
, que é
, também é homogênea, mas de grau
.
Matéria envolvida: Funções homogêneas e derivadas parciais.
O que vamos precisar: Vamos usar a definição de função homogênea e propriedades das derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser homogênea de grau
. Uma função
é homogênea de grau
se, ao multiplicarmos todas as suas variáveis por um escalar
, a função resulta em
vezes ela própria. Em fórmula:
Passo 3
Agora, queremos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, vamos derivar ambos os lados da equação de homogeneidade em relação a
.
Primeiro, escrevemos a equação de homogeneidade:
Passo 4
Vamos derivar ambos os lados em relação a
. Usamos a regra da cadeia para o lado esquerdo:
No lado direito, a derivada de
em relação a
é:
Passo 5
Igualando as duas expressões derivadas:
Dividimos ambos os lados por
(assumindo
):
Passo 6
O resultado mostra que:
Isso significa que a derivada parcial
é homogênea de grau
.
Resposta
A derivada parcial
é uma função homogênea de grau
.