Prove que se
for homogênea de grau
, então
é homogênea de grau
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que se a função
é homogênea de grau
, então a sua derivada parcial em relação a
, que é
, também é homogênea, mas de grau
.
Matéria envolvida: Funções homogêneas e derivadas parciais.
O que vamos precisar: Vamos usar a definição de função homogênea e propriedades das derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser homogênea de grau
. Uma função
é homogênea de grau
se, ao multiplicarmos todas as suas variáveis por um escalar
, a função resulta em
vezes ela própria. Em fórmula:
Passo 3
Agora, queremos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, vamos derivar ambos os lados da equação de homogeneidade em relação a
.
Primeiro, escrevemos a equação de homogeneidade:
Passo 4
Vamos derivar ambos os lados em relação a
. Usamos a regra da cadeia para o lado esquerdo:
No lado direito, a derivada de
em relação a
é:
Passo 5
Igualando as duas expressões derivadas:
Dividimos ambos os lados por
(assumindo
):
Passo 6
O resultado mostra que:
Isso significa que a derivada parcial
é homogênea de grau
.
Resposta
A derivada parcial
é uma função homogênea de grau
.
Exercícios relacionados
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(a) Encontre a série de potências para a derivada
e o raio de convergência.
(b) Integre termo a termo a série do item (a) para calcular a soma da série .
(b) Integre termo a termo a série do item (a) para calcular a soma da série
Em que direção a derivada de
em
é igual a zero?
I - se
é convergente, então
;
II - se , então
é convergente;
III - é convergente se, e somente se,
é convergente para todo
.
A(s) afirmativa(s) verdadeira(s) é(são):
(a) apenas .
(d) apenas .
(b) apenas e
.
© e
.
(e) apenas e
.
II - se
III -
A(s) afirmativa(s) verdadeira(s) é(são):
(a) apenas
(d) apenas
(b) apenas
©
(e) apenas