Prove que se f(x, y, z) for homogênea de grau n, então f_x(x, y, z) é homogênea de grau n - 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que se a função é homogênea de grau , então a sua derivada parcial em relação a , que é , também é homogênea, mas de grau .
Matéria envolvida: Funções homogêneas e derivadas parciais.
O que vamos precisar: Vamos usar a definição de função homogênea e propriedades das derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser homogênea de grau . Uma função é homogênea de grau se, ao multiplicarmos todas as suas variáveis por um escalar , a função resulta em vezes ela própria. Em fórmula:

Passo 3

Agora, queremos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Para isso, vamos derivar ambos os lados da equação de homogeneidade em relação a .
Primeiro, escrevemos a equação de homogeneidade:

Passo 4

Vamos derivar ambos os lados em relação a . Usamos a regra da cadeia para o lado esquerdo:
No lado direito, a derivada de em relação a é:

Passo 5

Igualando as duas expressões derivadas:
Dividimos ambos os lados por (assumindo ):

Passo 6

O resultado mostra que:
Isso significa que a derivada parcial é homogênea de grau .

Resposta

A derivada parcial é uma função homogênea de grau .

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