I - se
é convergente, então
;
II - se
, então
é convergente;
III -
é convergente se, e somente se,
é convergente para todo
.
A(s) afirmativa(s) verdadeira(s) é(são):
(a) apenas
.
(d) apenas
.
(b) apenas
e
.
©
e
.
(e) apenas
e
.
II - se
III -
A(s) afirmativa(s) verdadeira(s) é(são):
(a) apenas
(d) apenas
(b) apenas
©
(e) apenas
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos três afirmações sobre séries numéricas e queremos saber quais delas são verdadeiras. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre convergência de séries e alguns conceitos relacionados, como limites e somas infinitas. Vamos analisar cada afirmação passo a passo para ver quais estão corretas.
Passo 2
Afirmação I: Se
é convergente, então
.
Aqui,
representa a sequência das somas parciais da série
. Se essa sequência é convergente, isso significa que a série tem um limite finito.
Teoria Aplicada: Para uma série
convergir, é necessário que
. Isso é conhecido como teste necessário para a convergência. Ou seja, se a soma está chegando a um número específico, os termos individuais têm que estar ficando cada vez menores, chegando a zero.
Conclusão: A afirmação I é verdadeira.
Passo 3
Afirmação II: Se
, então
é convergente.
Aqui, afirmam que se os termos da série tendem a zero, então a série converge.
Teoria Aplicada: O fato de
é necessário para a convergência da série, mas não é suficiente. Ou seja, há séries onde os termos vão a zero, mas a série ainda diverge. Um exemplo clássico é a série harmônica:
, onde
, mas a série não converge.
Conclusão: A afirmação II é falsa.
Passo 4
Afirmação III:
é convergente se, e somente se,
é convergente para todo
.
Isso quer dizer que a convergência da série inteira depende da convergência de todas as suas “caudas”, ou seja, das séries que começam em qualquer ponto
.
Teoria Aplicada: Essa é uma propriedade fundamental das séries infinitas. Se a série inteira converge, todas as suas partes também convergem. E, se todas as suas partes convergem, a série inteira também converge. Isso é conhecido como propriedade da convergência uniforme das séries.
Conclusão: A afirmação III é verdadeira.
Resposta
A(s) afirmativa(s) verdadeira(s) é(são) apenas I e III, portanto a opção (b).
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Em que direção a derivada de
em
é igual a zero?
Prove que se
for homogênea de grau
, então
é homogênea de grau
.
Uma função diferenciável
tem, no ponto
, derivada direcional igual a 3 na direção
e igual a -1 na direção
. Calcule
(b) em que
é o versor de
.
(b)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(b)
©
(d)
(e)