I - se é convergente, então ;
II - se , então é convergente;
III - é convergente se, e somente se, é convergente para todo .
A(s) afirmativa(s) verdadeira(s) é(são):
(a) apenas .
(d) apenas .
(b) apenas e .
© e .
(e) apenas e .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos três afirmações sobre séries numéricas e queremos saber quais delas são verdadeiras. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre convergência de séries e alguns conceitos relacionados, como limites e somas infinitas. Vamos analisar cada afirmação passo a passo para ver quais estão corretas.

Passo 2

Afirmação I: Se é convergente, então .
Aqui, representa a sequência das somas parciais da série . Se essa sequência é convergente, isso significa que a série tem um limite finito.
Teoria Aplicada: Para uma série convergir, é necessário que . Isso é conhecido como teste necessário para a convergência. Ou seja, se a soma está chegando a um número específico, os termos individuais têm que estar ficando cada vez menores, chegando a zero.
Conclusão: A afirmação I é verdadeira.

Passo 3

Afirmação II: Se , então é convergente.
Aqui, afirmam que se os termos da série tendem a zero, então a série converge.
Teoria Aplicada: O fato de é necessário para a convergência da série, mas não é suficiente. Ou seja, há séries onde os termos vão a zero, mas a série ainda diverge. Um exemplo clássico é a série harmônica: , onde , mas a série não converge.
Conclusão: A afirmação II é falsa.

Passo 4

Afirmação III: é convergente se, e somente se, é convergente para todo .
Isso quer dizer que a convergência da série inteira depende da convergência de todas as suas “caudas”, ou seja, das séries que começam em qualquer ponto .
Teoria Aplicada: Essa é uma propriedade fundamental das séries infinitas. Se a série inteira converge, todas as suas partes também convergem. E, se todas as suas partes convergem, a série inteira também converge. Isso é conhecido como propriedade da convergência uniforme das séries.
Conclusão: A afirmação III é verdadeira.

Resposta

A(s) afirmativa(s) verdadeira(s) é(são) apenas I e III, portanto a opção (b).

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(b) em que é o versor de .
(a)
(b)
©
(d)
(e)