(a) t dt + y e^(-t) dy = 0, y(0) = 1
(b) y' = 2t / (y + t^2 y), y(0) = -2
© y' = t * y^3 * (1 + t^2)^(-1/2), y(0) = 1
(d) y' = 2t / (1 + 2y), y(2) = 0
(e) y' = t(t^2 + 1) / (4 y^3), y(0) = -1 / raiz(2)
(f) y' = (e^(-x) - e^(x)) / (3 + 4y), y(0) = 1
(g) sen(2x) dx + cos(3y) dy = 0, y(pi/2) = pi/3
(h) (x*y^2 + x) dx + (x^2*y - y) dy = 0, y(0) = 1
(i) d/dr theta = r^2/theta, r(1) = 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que envolve as variáveis e . O enunciado é com a condição inicial . Vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis para encontrar a função .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar de um lado e do outro. Assim, temos:

Passo 3

Agora, queremos separar as variáveis e . Para isso, vamos dividir ambos os lados por e multiplicar por :

Passo 4

Com as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados:

Passo 5

Vamos resolver as integrais. A integral do lado esquerdo é simples:
Para o lado direito, usamos integração por partes. Seja:
Então,

Passo 6

Substituindo de volta na equação:

Passo 7

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar :

Passo 8

Substituindo de volta na equação:
Multiplicando tudo por 2 para simplificar:

Passo 9

Finalmente, isolamos :

Resposta

A solução da equação diferencial é .

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