(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que envolve as variáveis e . O enunciado é com a condição inicial . Vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis para encontrar a função .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar de um lado e do outro. Assim, temos:

Passo 3

Agora, queremos separar as variáveis e . Para isso, vamos dividir ambos os lados por e multiplicar por :

Passo 4

Com as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados:

Passo 5

Vamos resolver as integrais. A integral do lado esquerdo é simples:
Para o lado direito, usamos integração por partes. Seja:
Então,

Passo 6

Substituindo de volta na equação:

Passo 7

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar :

Passo 8

Substituindo de volta na equação:
Multiplicando tudo por 2 para simplificar:

Passo 9

Finalmente, isolamos :

Resposta

A solução da equação diferencial é .

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(a) Encontre a série de potências para a derivada e o raio de convergência.
(b) Integre termo a termo a série do item (a) para calcular a soma da série .
(a) ( ) Se é convergente, então é absolutamente convergente no intervalo .
(b) ( ) Uma série de potências pode convegir em apenas dois valores .
© ( ) Se uma série de potências é absolutamente convergente em um dos extremos de seu intervalo de convergência, então ela também converge absolutamente no outro extremo.
(d) ( ) Se uma série de potências converge em um extremo de seu intervalo de convergência e diverge no outro, então a convergência naquele extremo é condicional.
(e) ( )Se é o raio de convergência de , então é o raio de convergência de .
(f) ( ) Se então o raio de convergência da série de potências é .
(g) ( ) Se tem raio de convergência , então as séries e também têm raio de convergência .
Prove que se for homogênea de grau , então é homogênea de grau .
Em que direção a derivada de em é igual a zero?