(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que envolve as variáveis
e
. O enunciado é
com a condição inicial
. Vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis para encontrar a função
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar
de um lado e
do outro. Assim, temos:
Passo 3
Agora, queremos separar as variáveis
e
. Para isso, vamos dividir ambos os lados por
e multiplicar por
:
Passo 4
Com as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados:
Passo 5
Vamos resolver as integrais. A integral do lado esquerdo é simples:
Para o lado direito, usamos integração por partes. Seja:
Então,
Passo 6
Substituindo de volta na equação:
Passo 7
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Passo 8
Substituindo
de volta na equação:
Multiplicando tudo por 2 para simplificar:
Passo 9
Finalmente, isolamos
:
Resposta
A solução da equação diferencial é
.
Exercícios relacionados
(a) Encontre a série de potências para a derivada
e o raio de convergência.
(b) Integre termo a termo a série do item (a) para calcular a soma da série .
(b) Integre termo a termo a série do item (a) para calcular a soma da série
(a) ( ) Se
é convergente, então
é absolutamente convergente no intervalo
.
(b) ( ) Uma série de potências pode convegir em apenas dois valores
.
© ( ) Se uma série de potências é absolutamente convergente em um dos extremos de seu intervalo de convergência, então ela também converge absolutamente no outro extremo.
(d) ( ) Se uma série de potências converge em um extremo de seu intervalo de convergência e diverge no outro, então a convergência naquele extremo é condicional.
(e) ( )Se é o raio de convergência de
, então
é o raio de convergência de
.
(f) ( ) Se então o raio de convergência da série de potências
é
.
(g) ( ) Se tem raio de convergência
, então as séries
e
também têm raio de convergência
.
(b) ( ) Uma série de potências
© ( ) Se uma série de potências é absolutamente convergente em um dos extremos de seu intervalo de convergência, então ela também converge absolutamente no outro extremo.
(d) ( ) Se uma série de potências converge em um extremo de seu intervalo de convergência e diverge no outro, então a convergência naquele extremo é condicional.
(e) ( )Se
(f) ( ) Se
(g) ( ) Se
Prove que se
for homogênea de grau
, então
é homogênea de grau
.
Em que direção a derivada de
em
é igual a zero?