(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que envolve as variáveis
e
. O enunciado é
com a condição inicial
. Vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis para encontrar a função
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar
de um lado e
do outro. Assim, temos:
Passo 3
Agora, queremos separar as variáveis
e
. Para isso, vamos dividir ambos os lados por
e multiplicar por
:
Passo 4
Com as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados:
Passo 5
Vamos resolver as integrais. A integral do lado esquerdo é simples:
Para o lado direito, usamos integração por partes. Seja:
Então,
Passo 6
Substituindo de volta na equação:
Passo 7
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Passo 8
Substituindo
de volta na equação:
Multiplicando tudo por 2 para simplificar:
Passo 9
Finalmente, isolamos
:
Resposta
A solução da equação diferencial é
.