Direções de crescimento e
decrescimento mais rápidos
Nos exercícios 17-22, encontre as direções nas quais as funções crescem e decrescem mais rapidamente em . Depois encontre as derivadas das funções nessas direções.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o problema pede. Temos a função e o ponto . A gente precisa descobrir nas direções onde essa função cresce e decresce mais rapidinho nesse ponto específico. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente o gradiente da função e as derivadas direcionais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que aponta na direção de crescimento mais rápido da função e é formado pelas derivadas parciais em relação a cada variável.
Então, vamos encontrar as derivadas parciais:
Passo 3
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :
Primeiro, calculamos em :
Então,
Portanto, o gradiente no ponto é:
Passo 4
A direção de crescimento mais rápido é exatamente a direção do gradiente. Então, a direção onde cresce mais rápido em é na direção de .
Para a direção de decrescimento mais rápido, ela é na direção oposta do gradiente, ou seja, .
Passo 5
Agora, vamos encontrar as derivadas das funções nessas direções. A derivada direcional de na direção de um vetor unitário é dada por:
Primeiro, vamos normalizar os vetores para torná-los unitários.
Para :
Então, o vetor unitário na direção de crescimento mais rápido é:
A derivada direcional nessa direção é:
Para a direção de decrescimento mais rápido, usando :
A derivada direcional nessa direção é:
Resposta
No ponto , a função cresce mais rapidamente na direção de com derivada direcional igual a , e decresce mais rapidamente na direção de com derivada direcional igual a .