Esboce o gráfico das seguintes funções:
a)
b)
.
a)
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos duas funções para esboçar os gráficos:
a)
b)
.
Estamos lidando com funções de duas variáveis, então vamos usar conceitos de superfícies no espaço tridimensional. Precisamos entender a forma dessas funções para desenhar seus gráficos de forma clara.
Passo 2
Vamos começar com a função a). Primeiro, observe que
é a equação de um círculo com raio 2 no plano xy. Dentro desse círculo, a função é
.
Passo 3
A expressão
se assemelha à equação da parte superior de uma esfera. De fato, se tivermos a equação de uma esfera
, a solução para
é
ou
.
Passo 4
Portanto, para
,
representa a meia esfera superior com raio 2. Fora desse círculo (
), a função vale zero, o que corresponde ao plano
.
Passo 5
Agora, vamos para a função b):
. Aqui, a expressão dentro da raiz é
, o que lembra a equação de uma esfera, mas com um termo extra.
Passo 6
Reescrevendo a função, temos
. Elevando ambos os lados ao quadrado para simplificar,
, que pode ser rearranjada para
, mas para manter em termos de
:
Passo 7
Isso descreve um cone circular com seu vértice no ponto
e abrindo para cima e para baixo. Mas, como estamos considerando apenas a raiz positiva,
, temos apenas a parte superior do cone.
Resposta
a) O gráfico de
consiste na metade superior de uma esfera de raio 2 para
e no plano
fora desse círculo.
b) O gráfico de
é a parte superior de um cone circular com vértice em
, abrindo para cima.
Exercícios relacionados
Esboce o gráfico da função
, definida por
Escreva as formas de decomposição em fraçōes parciais da funçăo (como no Exemplo 7). Nâo determine os valores numéricos dos coeficientes.
(a)
(a)
Direções de crescimento e
decrescimento mais rápidos
Nos exercícios 17-22, encontre as direções nas quais as funções crescem e decrescem mais rapidamente em . Depois encontre as derivadas das funções nessas direções.
decrescimento mais rápidos
Nos exercícios 17-22, encontre as direções nas quais as funções crescem e decrescem mais rapidamente em
Exprima a massa desta barra como um limite de uma soma de Riemann.