Exprima a massa desta barra como um limite de uma soma de Riemann.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente expressar a massa dessa barra como um limite de uma soma de Riemann. Isso está relacionado ao cálculo integral, onde usamos somas para aproximar áreas (ou, nesse caso, massa). Para resolver, vamos precisar entender como dividir a barra em pedaços pequenos, calcular a massa de cada pedaço e somar tudo isso no limite, quando o número de pedaços tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, imagine que a barra está distribuída ao longo de um eixo, digamos do ponto
ao ponto
. Vamos dividir essa barra em
segmentos pequenos, cada um com largura
.
Passo 3
Em cada segmento
, a posição pode ser representada por
. Se a densidade da barra em
for
, a massa do segmento
será aproximadamente
.
Passo 4
Agora, para encontrar a massa total da barra, somamos as massas de todos os
segmentos:
Passo 5
Para obter a massa exata, fazemos o número de segmentos
aumentar para o infinito, fazendo
tender a zero. Assim, o limite dessa soma é a integral da densidade ao longo da barra:
Resposta
A massa da barra pode ser expressa como o limite de uma soma de Riemann da seguinte forma: