Represente geometricamente os pontos do plano tais que suas coordenadas polares satisfazem: rho=1+cos theta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação em coordenadas polares: rho = 1 + cos theta. Nosso objetivo é desenhar no plano todos os pontos que satisfazem essa relação. Para isso, vamos usar alguns conceitos básicos de coordenadas polares e converter pra coordenadas cartesianas, que são mais fáceis de visualizar.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como funciona a conversão das coordenadas polares para cartesianas. As fórmulas que a gente vai usar são:
x = rho cdot cos theta
y = rho cdot sin theta
Essas fórmulas ajudam a transformar qualquer ponto dado em coordenadas polares (rho, theta) para o sistema de coordenadas cartesianas (x, y).

Passo 3

Agora, vamos substituir a expressão de rho que a gente tem na equação original na fórmula de x. Então:
x = (1 + cos theta) cdot cos theta
Vamos simplificar isso:
x = cos theta + cos^2 theta
Lembrando que cos^2 theta = 1 + cos 2theta2, podemos reescrever:
x = cos theta + 1 + cos 2theta2

Passo 4

Vamos fazer o mesmo para y:
y = (1 + cos theta) cdot sin theta
Simplificando:
y = sin theta + sin theta cdot cos theta
Sabemos que sin theta cdot cos theta = sin 2theta2, então:
y = sin theta + sin 2theta2

Passo 5

Agora, para facilitar a visualização, vamos tentar expressar tudo em termos de x e y. Mas, na verdade, já dá para perceber que essa equação em polar representa uma figura conhecida: um cardioide. Um cardioide é uma curva com formato de coração, bem simétrica e agradável de ver.

Passo 6

Então, ao desenhar rho = 1 + cos theta no plano, você vai obter um cardioide que está posicionado de forma que o “ponto” do coração está no lado direito do eixo x. Quando theta = 0, rho = 2, alcançando o ponto mais à direita. À medida que theta varia de 0 a 2pi, a curva volta e forma esse formato característico.

Resposta

A representação geométrica dos pontos que satisfazem rho = 1 + cos theta é um cardioide posicionado de modo que o “ponto” do coração está no lado direito do eixo x no plano cartesiano.

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