Represente geometricamente os pontos do plano tais que suas coordenadas polares satisfazem:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação em coordenadas polares:
. Nosso objetivo é desenhar no plano todos os pontos que satisfazem essa relação. Para isso, vamos usar alguns conceitos básicos de coordenadas polares e converter pra coordenadas cartesianas, que são mais fáceis de visualizar.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como funciona a conversão das coordenadas polares para cartesianas. As fórmulas que a gente vai usar são:
Essas fórmulas ajudam a transformar qualquer ponto dado em coordenadas polares
para o sistema de coordenadas cartesianas
.
Passo 3
Agora, vamos substituir a expressão de
que a gente tem na equação original na fórmula de
. Então:
Vamos simplificar isso:
Lembrando que
, podemos reescrever:
Passo 4
Vamos fazer o mesmo para
:
Simplificando:
Sabemos que
, então:
Passo 5
Agora, para facilitar a visualização, vamos tentar expressar tudo em termos de
e
. Mas, na verdade, já dá para perceber que essa equação em polar representa uma figura conhecida: um cardioide. Um cardioide é uma curva com formato de coração, bem simétrica e agradável de ver.
Passo 6
Então, ao desenhar
no plano, você vai obter um cardioide que está posicionado de forma que o “ponto” do coração está no lado direito do eixo
. Quando
,
, alcançando o ponto mais à direita. À medida que
varia de
a
, a curva volta e forma esse formato característico.
Resposta
A representação geométrica dos pontos que satisfazem
é um cardioide posicionado de modo que o “ponto” do coração está no lado direito do eixo
no plano cartesiano.