Plote os seguintes elipsoides:
Passo 1
Beleza! O exercício pede para a gente plotar o elipsoide definido pela equação
. Vamos usar conceitos de Geometria Analítica, especificamente sobre elipsoides. Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar os eixos principais do elipsoide e determinar seus comprimentos.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação do elipsoide para facilitar a identificação dos eixos. Normalmente, a equação padrão de um elipsoide centrado na origem é:
Para ajustar a nossa equação
para essa forma, vamos dividir todos os termos por 32:
Simplificando:
Passo 3
Agora, comparando com a equação padrão, identificamos:
Esses valores
,
e
representam os comprimentos dos semi-eixos do elipsoide ao longo dos eixos
,
e
, respectivamente.
Passo 4
Com esses valores, podemos visualizar o elipsoide:
- Ao longo do eixo
, o elipsoide se estende até aproximadamente 5.66 unidades. - Ao longo do eixo
, se estende até 4 unidades. - Ao longo do eixo
, se estende até aproximadamente 2.83 unidades.
Isso significa que o elipsoide é mais alongado no eixo
, meio alongado no
e menos no
.
Passo 5
Para plotar o elipsoide, você pode seguir estes passos:
- Desenhe os eixos coordenados
, e . - No eixo
, marque os pontos e . - No eixo
, marque os pontos e . - No eixo
, marque os pontos e . - Conecte esses pontos suavemente para formar a superfície do elipsoide.
Se estiver usando um software de plotagem 3D, como o Matplotlib no Python, você pode usar a seguinte formulação:
Passo 6
Aqui está um exemplo de como plotar usando Python e Matplotlib:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
# Definir os parâmetros do elipsoide
a = np.sqrt(32)
b = np.sqrt(16)
c = np.sqrt(8)
# Criar uma grade de pontos
u = np.linspace(0, 2 * np.pi, 100)
v = np.linspace(0, np.pi, 100)
u, v = np.meshgrid(u, v)
# Equações paramétricas do elipsoide
x = a * np.cos(u) * np.sin(v)
y = b * np.sin(u) * np.sin(v)
z = c * np.cos(v)
# Plotar
fig = plt.figure(figsize=(8,6))
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
ax.plot_surface(x, y, z, color='cyan', alpha=0.6, edgecolor='k')
# Configurações adicionais
ax.set_xlabel('X')
ax.set_ylabel('Y')
ax.set_zlabel('Z')
ax.set_title('Elipsoide: $x^{2} + 2y^{2} + 4z^{2} = 32$')
plt.show()
Resposta
Pronto! Seguindo esses passos, você terá o elipsoide
plotado, mostrando suas dimensões ao longo dos eixos
,
e
. Se usar o código Python acima, verá uma representação visual clara do elipsoide com os semi-eixos de aproximadamente 5.66, 4 e 2.83 unidades, respectivamente.