Plote os seguintes elipsoides:
x^2+2 y^2+4 z^2=32

Passo 1

Beleza! O exercício pede para a gente plotar o elipsoide definido pela equação . Vamos usar conceitos de Geometria Analítica, especificamente sobre elipsoides. Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar os eixos principais do elipsoide e determinar seus comprimentos.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação do elipsoide para facilitar a identificação dos eixos. Normalmente, a equação padrão de um elipsoide centrado na origem é:
x^2a^2 + y^2b^2 + z^2c^2 = 1
Para ajustar a nossa equação x^232 + 2y^232 + 4z^232 = 1 para essa forma, vamos dividir todos os termos por 32:
x^232 + y^216 + z^28 = 1
Simplificando:

Passo 3

Agora, comparando com a equação padrão, identificamos:
a^2 = 32 Rightarrow a = raiz32 = 4raiz2 approx 5.66
b^2 = 16 Rightarrow b = raiz16 = 4
c^2 = 8 Rightarrow c = raiz8 = 2raiz2 approx 2.83
Esses valores , e representam os comprimentos dos semi-eixos do elipsoide ao longo dos eixos , e , respectivamente.

Passo 4

Com esses valores, podemos visualizar o elipsoide:
  • Ao longo do eixo , o elipsoide se estende até aproximadamente 5.66 unidades.
  • Ao longo do eixo , se estende até 4 unidades.
  • Ao longo do eixo , se estende até aproximadamente 2.83 unidades.
Isso significa que o elipsoide é mais alongado no eixo , meio alongado no e menos no .

Passo 5

Para plotar o elipsoide, você pode seguir estes passos:
  1. Desenhe os eixos coordenados x^232 + y^216 + z^28 = 1 , e .
  2. No eixo , marque os pontos e .
  3. No eixo , marque os pontos e .
  4. No eixo , marque os pontos e .
  5. Conecte esses pontos suavemente para formar a superfície do elipsoide.
Se estiver usando um software de plotagem 3D, como o Matplotlib no Python, você pode usar a seguinte formulação:

Passo 6

Aqui está um exemplo de como plotar usando Python e Matplotlib:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

# Definir os parâmetros do elipsoide
a = np.sqrt(32)
b = np.sqrt(16)
c = np.sqrt(8)

# Criar uma grade de pontos
u = np.linspace(0, 2 * np.pi, 100)
v = np.linspace(0, np.pi, 100)
u, v = np.meshgrid(u, v)

# Equações paramétricas do elipsoide
x = a * np.cos(u) * np.sin(v)
y = b * np.sin(u) * np.sin(v)
z = c * np.cos(v)

# Plotar
fig = plt.figure(figsize=(8,6))
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
ax.plot_surface(x, y, z, color='cyan', alpha=0.6, edgecolor='k')

# Configurações adicionais
ax.set_xlabel('X')
ax.set_ylabel('Y')
ax.set_zlabel('Z')
ax.set_title('Elipsoide: $x^{2} + 2y^{2} + 4z^{2} = 32$')

plt.show()

Resposta

Pronto! Seguindo esses passos, você terá o elipsoide plotado, mostrando suas dimensões ao longo dos eixos , e . Se usar o código Python acima, verá uma representação visual clara do elipsoide com os semi-eixos de aproximadamente 5.66, 4 e 2.83 unidades, respectivamente.

Exercícios relacionados