Um disco circular horizontal de raio a está uniformemente carregado com densidade superficial de carga sigma. Qual é o campo num ponto do eixo vertical que atravessa o disco em seu centro, a uma distância D do centro?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos um disco circular horizontal com raio e densidade superficial de carga . A pergunta é: qual é o campo elétrico em um ponto que está no eixo vertical passando pelo centro do disco, a uma distância do centro? Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente o cálculo do campo elétrico gerado por uma distribuição de carga contínua.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar o disco dividido em anéis infinitamente finos. Cada anel tem um raio e uma espessura . A ideia aqui é calcular o campo elétrico gerado por um anel e depois somar todos esses pequenos campos para obter o campo total do disco.

Passo 3

Para encontrar o campo elétrico de um anel, usamos a fórmula conhecida:
dE = 14piepsilon0 cdot dQ cdot D(D^2 + r^2)^3/2
Onde:
  • é o campo elétrico gerado pelo anel.
  • é a carga no anel.
  • é a distância do ponto ao centro do disco.
  • é a permissividade do vácuo.

Passo 4

A carga dQ = sigma cdot dA = sigma cdot 2pi r cdot dr em um anel pode ser expressa em termos da densidade superficial de carga e da área do anel:
Aqui, é a área do anel.

Passo 5

Substituindo dE = 14piepsilon0 cdot sigma cdot 2pi r cdot dr cdot D(D^2 + r^2)^3/2 na expressão do campo elétrico:
dE = sigma D r2epsilon0 (D^2 + r^2)^3/2 cdot dr
Simplificando os termos:

Passo 6

Agora, para encontrar o campo total E = integral0^a sigma D r2epsilon0 (D^2 + r^2)^3/2 , dr , integramos de até :

Passo 7

Fazendo a substituição E = sigma D2epsilon0 integralD^2^D^2 + a^2 u^-3/2 cdot du2 , temos E = sigma D4epsilon0 [ -2u^-1/2 ]D^2^D^2 + a^2 . Assim, a integral se transforma em:
Simplificando:

Passo 8

Calculando os limites da integral:
E = sigma D4epsilon0 ( -2(D^2 + a^2)^-1/2 + 2(D^2)^-1/2 )
Simplificando os fatores:
E = sigma D2epsilon0 ( 1D - 1raizD^2 + a^2 )

Passo 9

Finalmente, simplificando a expressão:
E = sigma2epsilon0 ( 1 - DraizD^2 + a^2 )

Resposta

O campo elétrico no ponto solicitado é:
E = sigma2epsilon0 ( 1 - DraizD^2 + a^2 )

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