Um disco circular horizontal de raio
está uniformemente carregado com densidade superficial de carga
. Qual é o campo num ponto do eixo vertical que atravessa o disco em seu centro, a uma distância
do centro?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos um disco circular horizontal com raio
e densidade superficial de carga
. A pergunta é: qual é o campo elétrico em um ponto que está no eixo vertical passando pelo centro do disco, a uma distância
do centro? Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente o cálculo do campo elétrico gerado por uma distribuição de carga contínua.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar o disco dividido em anéis infinitamente finos. Cada anel tem um raio
e uma espessura
. A ideia aqui é calcular o campo elétrico gerado por um anel e depois somar todos esses pequenos campos para obter o campo total do disco.
Passo 3
Para encontrar o campo elétrico de um anel, usamos a fórmula conhecida:
Onde:
-
é o campo elétrico gerado pelo anel. -
é a carga no anel. -
é a distância do ponto ao centro do disco. -
é a permissividade do vácuo.
Passo 4
A carga
em um anel pode ser expressa em termos da densidade superficial de carga
e da área do anel:
Aqui,
é a área do anel.
Passo 5
Substituindo
na expressão do campo elétrico:
Simplificando os termos:
Passo 6
Agora, para encontrar o campo total
, integramos
de
até
:
Passo 7
Fazendo a substituição
, temos
. Assim, a integral se transforma em:
Simplificando:
Passo 8
Calculando os limites da integral:
Simplificando os fatores:
Passo 9
Finalmente, simplificando a expressão:
Resposta
O campo elétrico no ponto solicitado é: