No modelo clássico de J J. Thomson para o átomo de hidrogênio, a carga +e do núcleo era imaginada como estando uniformemente distribuída no interior de uma esfera de raio a da ordem de 10^8 cm (raio atômico) e o elétron era tratado como uma carga puntiforme -e movendo-se no interior dessa distribuição. Calcule o campo elétrico que atuaria sobre o elétron num ponto à distância r do centro da esfera;

Passo 1

Então, a gente tem um modelo do átomo de hidrogênio proposto por J.J. Thomson. Nesse modelo, o núcleo positivo com carga +e está distribuído de maneira uniforme dentro de uma esfera com raio a (que é o raio atômico, algo em torno de 10^8 cm). O elétron, que tem carga -e, se move dentro dessa esfera. A nossa missão aqui é calcular o campo elétrico que atua sobre o elétron quando ele está a uma distância r menor que a do centro da esfera. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre o campo elétrico dentro de uma distribuição de carga uniforme e usar a Lei de Gauss.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o campo elétrico dentro de uma esfera com carga uniformemente distribuída. A Lei de Gauss é super útil aqui. Ela diz que o fluxo elétrico passando por uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante elétrica varepsilon0.

Passo 3

Vamos imaginar uma superfície gaussiana esférica de raio r (com r < a) dentro da nossa esfera de carga. Como a carga está distribuída uniformemente, a quantidade de carga dentro da nossa superfície gaussiana é proporcional ao volume dessa superfície em comparação com o volume total da esfera.

Passo 4

Vamos calcular a carga dentro da superfície gaussiana. A densidade de carga rho é a carga total e dividida pelo volume da esfera:
rho = e43pi a^3
Agora, a carga dentro do raio r é:
qdentro = rho times 43pi r^3 = e times (r^3a^3)

Passo 5

Aplicando a Lei de Gauss, o fluxo elétrico Phi é:
Phi = E times 4pi r^2 = qdentrovarepsilon0
Substituindo qdentro:
E times 4pi r^2 = e times (r^3a^3)varepsilon0

Passo 6

Agora, vamos isolar o campo elétrico E:
E = e times (r^3a^3)4pi varepsilon0 r^2 = e r4pi varepsilon0 a^3

Resposta

O campo elétrico que atua sobre o elétron a uma distância r < a do centro da esfera é:
E = e, r4,pi, varepsilon0, a^3

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