(6 Pontos) Um oscilador harmônico encontra-se no seu primeiro estado excitado. Determine a posição da partícula na qual a probabilidade de encontrá-la é máxima e qual o valor dessa probabilidade.
Dado:
em que
Dado:
Passo 1
Entendendo o problema:
Estamos lidando com um oscilador harmônico no seu primeiro estado excitado. O que precisamos fazer é descobrir em que posição a partícula tem a maior probabilidade de ser encontrada e qual é essa probabilidade. Para isso, vamos usar a função de onda fornecida:
Aqui,
é definido por:
Vamos precisar entender conceitos de mecânica quântica, como função de onda e densidade de probabilidade, além de aplicar cálculo para encontrar máximos.
Passo 2
Calculando a densidade de probabilidade:
A probabilidade de encontrar a partícula em uma posição específica é dada pelo quadrado do módulo da função de onda:
Isso nos dá a densidade de probabilidade em função de
.
Passo 3
Encontrando o valor máximo da densidade de probabilidade:
Para descobrir onde essa probabilidade é máxima, precisamos encontrar o ponto onde a função
atinge seu máximo. Isso é feito derivando
em relação a
e igualando a derivada a zero:
Vamos calcular essa derivada:
Simplificando:
Fatorando
:
Isso nos dá duas soluções possíveis:
-
-
⇒ ⇒
Como
resulta em zero de probabilidade, a posição onde a probabilidade é máxima é:
Passo 4
Calculando o valor da probabilidade máxima:
Agora, vamos substituir
na expressão da densidade de probabilidade:
Simplificando:
Resposta
A posição onde a probabilidade de encontrar a partícula é máxima é
e o valor dessa probabilidade é
.