(6 Pontos) Um oscilador harmônico encontra-se no seu primeiro estado excitado. Determine a posição da partícula na qual a probabilidade de encontrá-la é máxima e qual o valor dessa probabilidade.
Dado:
em que

Passo 1

Entendendo o problema:
Estamos lidando com um oscilador harmônico no seu primeiro estado excitado. O que precisamos fazer é descobrir em que posição a partícula tem a maior probabilidade de ser encontrada e qual é essa probabilidade. Para isso, vamos usar a função de onda fornecida:
Aqui, é definido por:
Vamos precisar entender conceitos de mecânica quântica, como função de onda e densidade de probabilidade, além de aplicar cálculo para encontrar máximos.

Passo 2

Calculando a densidade de probabilidade:
A probabilidade de encontrar a partícula em uma posição específica é dada pelo quadrado do módulo da função de onda:
Isso nos dá a densidade de probabilidade em função de .

Passo 3

Encontrando o valor máximo da densidade de probabilidade:
Para descobrir onde essa probabilidade é máxima, precisamos encontrar o ponto onde a função atinge seu máximo. Isso é feito derivando em relação a e igualando a derivada a zero:
Vamos calcular essa derivada:
Simplificando:
Fatorando :
Isso nos dá duas soluções possíveis:
Como resulta em zero de probabilidade, a posição onde a probabilidade é máxima é:

Passo 4

Calculando o valor da probabilidade máxima:
Agora, vamos substituir na expressão da densidade de probabilidade:
Simplificando:

Resposta

A posição onde a probabilidade de encontrar a partícula é máxima é e o valor dessa probabilidade é .

Exercícios relacionados

Encontre o comportamento funcional do potencial elétrico em um barra condutora unidimensional, dadas as seguintes condições de contorno:
Sugestão: use a equação de Laplace .
Um disco circular horizontal de raio está uniformemente carregado com densidade superficial de carga . Qual é o campo num ponto do eixo vertical que atravessa o disco em seu centro, a uma distância do centro?
Um tetraedro regular possui suas faces carregadas uniformemente com densidade de carga constante. No centro do tetraedro há uma carga. O trabalho para juntar duas faces é e para juntar uma face na presença da carga é . Qual o trabalho necessário para formar o sistema?
Para determinar o volume de um cilindro, mede-se o seu raio e a sua altura . Os resultados são dados por: e . Sabendo que o volume é dado por , escreva a representação final para o volume do cilindro .