(6 Pontos) Um oscilador harmônico encontra-se no seu primeiro estado excitado. Determine a posição da partícula na qual a probabilidade de encontrá-la é máxima e qual o valor dessa probabilidade.
Dado:
psi1(x)=(4 alpha^3pi)^1 / 4 x e^-alpha x^2 / 2
em que
alpha=(k muhbar^2)^1 / 2

Passo 1

Entendendo o problema:
Estamos lidando com um oscilador harmônico no seu primeiro estado excitado. O que precisamos fazer é descobrir em que posição a partícula tem a maior probabilidade de ser encontrada e qual é essa probabilidade. Para isso, vamos usar a função de onda fornecida:
psi1(x)=(4 alpha^3pi)^1 / 4 x e^-alpha x^2 / 2
Aqui, alpha=(k muhbar^2)^1 / 2 é definido por:
Vamos precisar entender conceitos de mecânica quântica, como função de onda e densidade de probabilidade, além de aplicar cálculo para encontrar máximos.

Passo 2

Calculando a densidade de probabilidade:
A probabilidade de encontrar a partícula em uma posição específica é dada pelo quadrado do módulo da função de onda:
|psi1(x)|^2 = (4 alpha^3pi)^1 / 2 x^2 e^-alpha x^2
Isso nos dá a densidade de probabilidade em função de .

Passo 3

Encontrando o valor máximo da densidade de probabilidade:
Para descobrir onde essa probabilidade é máxima, precisamos encontrar o ponto onde a função ddx|psi1(x)|^2 = 0 atinge seu máximo. Isso é feito derivando ddx( (4 alpha^3pi)^1 / 2 x^2 e^-alpha x^2 ) = 0 em relação a (4 alpha^3pi)^1 / 2 ( 2x e^-alpha x^2 - 2alpha x^3 e^-alpha x^2 ) = 0 e igualando a derivada a zero:
x e^-alpha x^2 (2 - 2alpha x^2) = 0
Vamos calcular essa derivada:
x = raiz2alpha e x = -raiz2alpha
Simplificando:
Fatorando :
Isso nos dá duas soluções possíveis:
Como resulta em zero de probabilidade, a posição onde a probabilidade é máxima é:

Passo 4

Calculando o valor da probabilidade máxima:
Agora, vamos substituir |psi1(raiz2alpha)|^2 = (4 alpha^3pi)^1 / 2 (2alpha) e^-alpha (2alpha) na expressão da densidade de probabilidade:
|psi1(raiz2alpha)|^2 = (4 alpha^3pi)^1 / 2 cdot 2alpha cdot e^-2
Simplificando:
= 2 alpha^3/2raizpi cdot 2alpha cdot e^-2
= 4 alpha^1/2raizpi e^-2

Resposta

A posição onde a probabilidade de encontrar a partícula é máxima é e o valor dessa probabilidade é .

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