Encontre o comportamento funcional do potencial elétrico em um barra condutora unidimensional, dadas as seguintes condições de contorno:
Sugestão: use a equação de Laplace .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar como o potencial elétrico varia ao longo de uma barra condutora unidimensional. As condições dadas são que em , o potencial é e em é . Para resolver isso, vamos usar a Equação de Laplace, que é uma ferramenta fundamental em eletrostática para encontrar potenciais em regiões sem carga. A equação simplificada para uma dimensão é:

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que essa equação nos diz. A segunda derivada do potencial em relação a é zero. Isso significa que a primeira derivada, que representa a inclinação da função , é constante. Ou seja, é uma função linear.

Passo 3

Vamos integrar a equação:
Integrando uma vez em relação a :
Onde é uma constante de integração. Integrando novamente:
Aqui, é outra constante de integração. Então, o potencial é uma função linear da forma .

Passo 4

Agora, precisamos determinar as constantes e usando as condições de contorno fornecidas:
  1. Quando , :
  1. Quando , :

Passo 5

Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar e .
Primeira equação:
Segunda equação:
Subtraindo a equação (1) da equação (2):
Simplificando:
Então,

Passo 6

Agora, substituímos de volta em uma das equações para encontrar . Usando a equação (1):
Resolvendo para :
Simplificando:

Passo 7

Agora, juntando tudo, a expressão para o potencial é:
Substituímos pela expressão encontrada:
Simplificando a expressão:

Resposta

O comportamento funcional do potencial elétrico na barra condutora é dado por:

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