Encontre o comportamento funcional do potencial elétrico (V(x)) em um barra condutora unidimensional, dadas as seguintes condições de contorno:
V(x) longrightarrowl V(x1)=-V0 V(x2)=+V0
Sugestão: use a equação de Laplace nabla^2 V(r)=0 Longrightarrow d^2 V(x)d x^2=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar como o potencial elétrico d^2 V(x)d x^2 = 0 varia ao longo de uma barra condutora unidimensional. As condições dadas são que em , o potencial é e em é . Para resolver isso, vamos usar a Equação de Laplace, que é uma ferramenta fundamental em eletrostática para encontrar potenciais em regiões sem carga. A equação simplificada para uma dimensão é:

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que essa equação nos diz. A segunda derivada do potencial em relação a é zero. Isso significa que a primeira derivada, que representa a inclinação da função , é constante. Ou seja, é uma função linear.

Passo 3

Vamos integrar a equação:
d^2 V(x)d x^2 = 0
Integrando uma vez em relação a d V(x)d x = C1 :
V(x) = C1 x + C2
Onde é uma constante de integração. Integrando novamente:
Aqui, é outra constante de integração. Então, o potencial é uma função linear da forma .

Passo 4

Agora, precisamos determinar as constantes -V0 = C1 x1 + C2 e V0 = C1 x2 + C2 usando as condições de contorno fornecidas:
  1. Quando , :
  1. Quando , :

Passo 5

Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar -V0 = C1 x1 + C2 (1) e V0 = C1 x2 + C2 (2) .
Primeira equação:
V0 - (-V0) = C1 x2 - C1 x1
Segunda equação:
2V0 = C1 (x2 - x1)
Subtraindo a equação (1) da equação (2):
C1 = 2V0x2 - x1
Simplificando:
Então,

Passo 6

Agora, substituímos -V0 = ( 2V0x2 - x1 ) x1 + C2 de volta em uma das equações para encontrar C2 = -V0 - 2V0 x1x2 - x1 . Usando a equação (1):
C2 = -V0 (1 + 2x1x2 - x1)
Resolvendo para :
Simplificando:

Passo 7

Agora, juntando tudo, a expressão para o potencial V(x) = 2V0x2 - x1 x + C2 é:
V(x) = 2V0x2 - x1 x - V0 (1 + 2x1x2 - x1)
Substituímos V(x) = 2V0x2 - x1 (x - x1) - V0 pela expressão encontrada:
Simplificando a expressão:

Resposta

O comportamento funcional do potencial elétrico na barra condutora é dado por:
V(x) = 2V0x2 - x1 (x - x1) - V0

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