Encontre o comportamento funcional do potencial elétrico
em um barra condutora unidimensional, dadas as seguintes condições de contorno:
Sugestão: use a equação de Laplace
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar como o potencial elétrico
varia ao longo de uma barra condutora unidimensional. As condições dadas são que em
, o potencial é
e em
é
. Para resolver isso, vamos usar a Equação de Laplace, que é uma ferramenta fundamental em eletrostática para encontrar potenciais em regiões sem carga. A equação simplificada para uma dimensão é:
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que essa equação nos diz. A segunda derivada do potencial
em relação a
é zero. Isso significa que a primeira derivada, que representa a inclinação da função
, é constante. Ou seja,
é uma função linear.
Passo 3
Vamos integrar a equação:
Integrando uma vez em relação a
:
Onde
é uma constante de integração. Integrando novamente:
Aqui,
é outra constante de integração. Então, o potencial
é uma função linear da forma
.
Passo 4
Agora, precisamos determinar as constantes
e
usando as condições de contorno fornecidas:
- Quando
, :
- Quando
, :
Passo 5
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar
e
.
Primeira equação:
Segunda equação:
Subtraindo a equação (1) da equação (2):
Simplificando:
Então,
Passo 6
Agora, substituímos
de volta em uma das equações para encontrar
. Usando a equação (1):
Resolvendo para
:
Simplificando:
Passo 7
Agora, juntando tudo, a expressão para o potencial
é:
Substituímos
pela expressão encontrada:
Simplificando a expressão:
Resposta
O comportamento funcional do potencial elétrico na barra condutora é dado por: